Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
v(q)
=
4h^2e^2
q^2
Z-
r
e
(r)
e
(i/h)(q·r)
d^3r
.
(6.50)
Величину в скобках принято называть атомным формфактором. (Заметим, что точно с таким же формфактором мы встречаемся при изучении рассеяния рентгеновских лучей. Действительно, в теории рассеяния
В атоме потенциал изменяется по кулоновскому закону лишь при очень малых радиусах. С увеличением радиуса атомные электроны начинают постепенно экранировать (компенсировать) электрический заряд ядра до тех пор, пока при достаточно больших значениях r потенциал не обратится в нуль. В очень грубом приближении эффект экранировки атомными электронами можно оценить с помощью формулы
V(r)
=
Zd^2
r
d
(r/a)
.
(6.51)
Через a в этой формуле обозначен радиус атома. Заметим, что это не тот внешний радиус атома, которым пользуются химики; здесь a=a0/Z1/3, где a0=h^2/md^2=0,528A.
Задача 6.8. Покажите, что для потенциала (6.51)
v(q)
=
4Ze^2h^2
q^2+(h/a)^2
(6.52)
и, следовательно,
=Z
2
e
4
mu^2
2
4
sin
2
^2
+
h^2
(pa)^2
– 2
.
(6.53)
Полное эффективное сечение T определится как интеграл от сечения по поверхности единичной сферы, т.е.
T
=
4
0
d
.
(6.54)
Покажите, что это сечение имеет вид
T
=
a^2
Z
2
e
4
1
(2uh)
2
1+
h^2
(2pa)^2
(6.55)
Задача 6.9. Пусть мы хотим учесть тот факт, что атомное ядро имеет конечный радиус
r
=
1,2·10
– 13
x(массовое
1/3
см
(6.56)
в предположении, что заряд ядра распределён приблизительно равномерно внутри сферы такого радиуса. Спрашивается, как это предположение повлияет на эффективное сечение рассеяния электронов на атоме в области больших передач импульса q?
Покажите, каким образом отсюда может быть определён радиус ядра. Насколько велика должна быть величина импульса налетающих электронов p, чтобы стало заметным влияние структуры атомного ядра? Какие углы, большие или малые, следует при этом измерять более точно и почему?
Замечание. В эксперименте такого рода требуются настолько большие импульсы электронов, что для нахождения энергии фактически нужно пользоваться релятивистской формулой E=(m2c4+c2p2) 1/2 – mc2, поэтому, строго говоря, для описания взаимодействия мы уже не имеем права применять нерелятивистские формулы. Однако соотношение между импульсом и длиной волны и между энергией и частотой не изменяются при переходе в релятивистскую область. Поскольку это именно та длина волны, которая определяет разрешающую силу такого «электронного микроскопа», то использование (без конкретного вычисления импульса) нерелятивистских формул является вполне законным.
Задача 6.10. Рассмотрим двухатомную молекулу, состоящую из атомов A и B, центры которых задаются векторами a и b. Используя борновское приближение, покажите, что амплитуда рассеяния электрона на такой молекуле
K
(1)
=
e
(i/h)(q·a)
f
A
(q)
+
e
(i/h)(q·b)
f
B
(q)
,
(6.57)
где fA и fB — амплитуды рассеяния электрона на отдельных атомах при допущении, что каждый из этих атомов располагался бы в начале системы координат. Межатомные связи слабо влияют на распределение заряда вокруг ядер (за исключением очень лёгких атомов, таких, как водород), так как силы этих связей действуют лишь на самые внешние электроны атомных оболочек.
Используя соотношение (6.57), покажите, что вероятность рассеяния при заданном значении передаваемого импульса p пропорциональна сумме f^2A + f^2B + 2fAfAcos(q·d), где d=a-b.
Вычисленные в борновском приближении амплитуды f являются действительными величинами и применимы для тех энергий электронов (порядка 1 кэв), которые обычно используются в дифракционных опытах с молекулами. Однако если молекула состоит из очень тяжёлых атомов, таких, как уран, то атомный потенциал V становится настолько большим, что борновское приближение оказывается уже недостаточно точным для описания экспериментов. В этом случае необходимо внести небольшие поправки.