Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Задача 6.11. Предположим, что молекулы ориентированы совершенно случайным образом. Покажите, что эффективное сечение рассеяния электронов, усреднённое по совокупности таких молекул, пропорционально сумме f^2A + f^2B + 2fAfA [sin (qxd)/(q·d)]. Как обобщить этот результат на случай многоатомных молекул?
Все эти результаты лежат в основе электронной дифракционной техники, позволяющей определять форму различных молекул.
Задача 6.12. В предположении о независимости потенциала V(r) от времени покажите, что интегрирование по времени в выражении для ядра , описывающем рассеяние во втором
K
(2)
(b,a)
=
m
2h^2
2
m
2ihT
3/2
rc
rd
rcd+rac+rdb
rcdracrdb
x
x
exp
im
2hT
(r
cd
+r
ac
+r
db
)^2
V(r
c
)
V(r
d
)
d^3r
c
d^3r
d
,
(6.58)
где точки a, b, c и d расположены так, как это показано на фиг. 6.9; величина rcd равна расстоянию между точками c и d и т. д. Полагая, что потенциал V(r) становится пренебрежимо малым на расстояниях, небольших по сравнению с Ra, и Rb, покажите, что эффективное сечение даётся формулой =|f|^2, где f — амплитуда рассеяния, содержащая лишь члены первого приближения:
f
=
m
2h^2
r
e
– (i/h)pb·r
V(r)
e
(i/h)pa·r
d^3r
+
+
m
2h^2
^2
rc
rd
e
– (i/h)pb·rd
V(r
d
)
1
rcd
e
(i/h)prcd
x
x
V(r
c
)
e
(i/h)pa·rc
d^3r
c
d^3r
d
+члены более высокого порядка.
(6.59)
Здесь pb — импульс электрона, вылетающего в направлении Rb,
Фиг. 6.9. Учёт членов второго порядка в разложении теории возмущений.
Как на фиг. 6.2 (случай 3), здесь изображено рассеяние электрона атомным потенциалом в двух различных точках. Электрон выходит из точки a и движется как свободная частица до точки c, где он рассеивается; после этого электрон снова движется как свободная частица до точки d, где происходит ещё одно рассеяние, и далее снова продолжается свободное движение вплоть до точки b, где электрон попадает в счётчик. Точки c и d могут находиться в любом месте пространства. Атомный потенциал в этих точках зависит от длин радиусов-векторов rc и rd, измеряемых от центра атома O.
Можно было бы ожидать, что, когда борновское приближение становится недостаточно точным, имеет смысл вычислять в качестве поправки члены второго порядка и т. д. Но на практике оказывается, что в выражениях типа (6.59) мы встречаемся с весьма медленно сходящимися рядами. Если второй член даёт сравнительно заметную поправку (например, ~ 10%), то каждый следующий член даст ненамного меньший вклад, так что получить существенное улучшение результата довольно нелегко. Конечно, в задачах, где погрешности борновского приближения сравнительно малы (скажем, меньше 1%), учёт второго члена является вполне хорошим способом вычисления поправок.
Описание рессеяния с помощью волновой функции. В рассмотренных выше экспериментах по рассеянию мы предполагали, что в начальном состоянии электрон был свободной частицей с импульсом pa. Предполагалось также, что величину этого импульса можно определить методом измерения времени пролёта (т.е. по полному времени T, необходимому для прохождения расстояния Ra+Rb).
Конечно, не обязательно использовать именно этот способ; нас вполне удовлетворит любое устройство, которое позволит определять величину импульса. Поэтому обобщим рассмотренную картину процесса рассеяния, воспользовавшись понятием волновой функции.
Допустим, нам известно, что влетающий электрон имеет импульс pa и энергию Ea=p^2a/2m. Следовательно, волновая функция налетающих электронов
a
=
e
(i/h)pa·r
e
– (i/h)Eat
.
(6.60)
Использовав теперь два первых члена соотношения (6.25), мы можем в первом приближении теории возмущений записать следующее выражение для волновой функции вылетающих электронов:
(R
b
,t
b
)
=
e
(i/h)pa·Rb
e
– (i/h)Eatb
–
–
i
h
tb
0
r
K
0
(R
b
,t
b
;r,t)
V(r,t)