Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
dx
3
dt
3
+… .
(6.67)
Ясно, что в каждом члене разложения переменная x1 входит лишь через волновую функцию *m(x1); аналогичным образом входит и переменная x2, поэтому ядро KV мы всегда можем записать в виде
K
V
(2,1)
=
n
m
mn
(t
2
,t
1
)
m
(x
2
)
*
n
(x
1
)
,
(6.68)
где —
mn
=
mn
e
– (iEn/h)(t2– t1)
+
(1)
mn
+
(2)
mn
+… .
(6.69)
Сравнивая это выражение с формулой (6.67), получаем далее
(1)
mn
=-
i
h
–
t2
t1
*
m
(x
3
)
V(x
3
,t
3
)
n
(x
3
)
x
x
dx
3
exp
i
h
[E
m
(t
3
– t
2
)
– E
n
(t
3
– t
1
)]
dt
3
.
(6.70)
Задача 6.15. В задаче 5.4 мы определили некий интеграл как амплитуду перехода из состояния (x) в состояние (x). Покажите, что функция mn удовлетворяет этому определению, если начальное состояние описывается собственной функцией n(x), а конечное состояние — собственной функцией m(x).
Обозначим для краткости
V
mn
(t
3
)
=
–
*
m
(x
3
)
V(x
3
,t
3
)
n
(x
3
)
dx
3
(6.71)
(эта
(1)
mn
=-
i
h
e
– (i/h)Emt2
e
(i/h)Ent1
t2
t1
V
mn
(t
3
)
e
(i/h)(Em– En)t3
dt
3
.
(6.72)
Мы получили важный результат нестационарной теории возмущений. Коэффициент mn представляет собой амплитуду вероятности того, что в момент времени t2 система будет обнаружена в состоянии m, если первоначально она находилась в состоянии n.
Предположим, что волновая функция в момент времени t1 была равна n(x1). Спрашивается, какой она станет в момент времени t2? Используя соотношение (3.42), можно представить эту функцию в момент времени t2 как
–
K
V
(2,1)
n
(x
1
)
dt
1
=
=
k
l
kl
k
(x
2
)
–
*
l
(x
1
)
n
(x
1
)
dt
1
=
k
kn
k
(x
2
)
.
(6.73)
Это означает, что волновая функция в момент времени t2 имеет вид
m
C
m
m
(x
2
)
.
Такое разложение по собственным функциям впервые применялось в формуле (4.48). Теперь можно придать более глубокий смысл постоянным Cm, а именно интерпретировать их как амплитуды вероятности обнаружения системы в состояниях m. В этом частном случае Cm равно mn и представляет собой амплитуду вероятности того, что в момент времени t2 система будет находиться в состоянии m, если в момент времени t1 она была в состоянии n.