Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
2
)
;
(8.20)
это не что иное, как произведение функций 2(x2) *2(x1). Так как выражение в скобках может быть переписано как
1
2
2m
h
x
2
1
– 1
2m
h
x
2
2
– 1
,
(8.21)
то
2
(x)
=
1
2
2m
h
x^2
– 1
0
(x)
.
(8.22)
Результаты эти можно сравнить с результатами в соотношениях (8.7) и (8.8), полученными из решения волнового уравнения.
В принципе таким способом можно найти все волновые функции. Однако здесь мы встречаемся с трудной алгебраической задачей отыскания общего вида функций n непосредственно из разложения. Другой путь, обходящий эту трудность, показан в следующей задаче.
Задача 8.1. Заметим, что амплитуда перехода из любого состояния f(x) в другое состояние g(x) равна амплитуде перехода g|1|f, как это определено в соотношении (7.1).
Пусть f(x) и g(x) могут быть разложены в ряд по ортогональным функциям n(x) — решениям волнового уравнения, связанного с ядром K(2,1), подобно тому как это делалось в § 2 гл. 4. Таким образом,
f(x)
=
f
n
n
(x)
,
g(x)
=
g
n
n
(x)
.
(8.23)
Используя коэффициенты fn и gn и соотношение (4.59), покажите, что амплитуду перехода можно представить в виде
g*(x
2
)
K(x
2
,T;x
1
,0)
f(x
1
)
dx
1
dx
2
=
g
*
n
f
n
e
– (i/h)EnT
.
(8.24)
Пусть теперь мы выбрали две такие функции f и g что для них разложение в правой части соотношения (8.24) является достаточно простым. Тогда после вычисления функций fn можно получить некоторое представление о волновых функциях n из вида разложений (8.23). Предположим, что функции f и g мы выбрали следующим образом:
f(x)
=
m
h
1/4
exp
–
m
2h
(x-a)^2
,
(8.25)
g(x)
=
m
h
1/4
exp
–
m
2h
(x-b)^2
.
(8.26)
Эти
exp
–
iT
2
–
m
4h
(a^2+b^2-2ab)
e
– iT
=
=
n
f
n
(a)
f
*
n
(b)
e
– (i/h)EnT
.
(8.27)
Исходя из этого результата, покажите, что En=h(n+ 1/2 ) и
f
n
(a)
=
m
2h
n/2
an
n!
exp
ma2
4h
.
(8.28)
Подставляя полученный результат в формулу (8.24), напишите для n выражение, которое следует из соотношения (8.7), в предположении, что функции Hn(x) нам неизвестны. Найдите для них отсюда производящую функцию (8.9).
§ 2. Многоатомная молекула
В предыдущем параграфе мы получили волновые функции и энергетические уровни, описывающие простой гармонический осциллятор. Исследование системы взаимодействующих осцилляторов начнём с изучения вопроса о многоатомных молекулах. Определим сначала координаты, описывающие положение атомов в молекуле. Положение каждого атома будем задавать тремя ортогональными координатами: xa, ya и za, которые отсчитываются от его положения равновесия. Если масса атома равна ma, то кинетическая энергия всей молекулы определяется выражением
a
1
2
m
a
(
x
2
a
+
y
2
a
+
z
2
a
),
(8.29)
где суммирование производится по всем атомам, входящим в молекулы.
При общем рассмотрении нам удобнее не пользоваться векторными обозначениями, а применить другой метод. Предположим, что молекула содержит N атомов. Тогда n=3N ортогональных координат можно определить следующим образом: