Математические модели в естественнонаучном образовании. Том II, Соломатин Денис

Математические модели в естественнонаучном образовании. Том II

на обложку

Соломатин Денис

Шрифт:

б. Если расстояния равны

, то каковы длины

5.2.5. Используйте FM- алгоритм для построения некорневого дерева на

данных в таблице 5.9, которая также использовалась в задаче 5.2.2. Насколько отличается получившийся результат?

5.2.6. Предположим, что три терминальных таксона связаны некорневым метрическим деревом.

а. Если три длины ребер равны 0.1, 0.2 и 0.3, объясните, почему гипотеза молекулярных часов должна быть неверной, независимо от того, где находится корень.

б. Если длины трех ребер равны 0.1, 0.1 и 0.2, объясните, почему гипотеза о молекулярных часах может быть верной. В случае, когда гипотеза оказывается верна, где должен находиться корень?

в. Если три длины ребер равны 0.1, 0.2 и 0.2, объясните, почему гипотеза молекулярных часов должна быть неверной, независимо от того, где находится корень.

5.2.7. В то время как данные о расстоянии для 3 терминальных таксонов могут точно соответствовать дереву без корней, при наличии 4 (или более) таксонов это обычно невозможно.

а. Нарисуйте некорневое дерево с терминальными таксонами A, B, C и D. Обозначьте длины пяти ребер

б. Используя для расстояния между терминальными таксонами обозначения типа

, запишите уравнения для каждого из 6 таких расстояний выраженных через

. Объясните, почему, если даны числовые значения расстояний между терминальными таксонами, эти уравнения вряд ли будут иметь точное решение.

в. Приведите такой конкретный пример значений 6 расстояний между терминальными таксонами, чтобы уравнения в части (б) не могли иметь точного решения. Приведите еще один пример значений, для которых уравнения могут быть решены.

5.2.8. Известен ряд различных мер для оценки степени согласованности между данными о расстояниях и метрическими деревьями. Пусть

обозначает расстояние между таксонами

, полученное из экспериментальных данных, а

обозначает расстояние, полученное при обходе от

до

вдоль дерева. Во второй половине прошлого века были предложены следующие три меры:

(Фитч и Марголиаш, 1967)

(Фаррис, 1972)

(Татено и др. , 1982)

Во всех этих мерах суммы включают слагаемые для каждой отдельной пары таксонов

а. Вычислите эти меры для дерева, построенного в разделе, используя FM- алгоритм, а также дерева, построенного из тех же данных с помощью UPGMA в задаче 5.2.3. Согласно каждому из этих показателей, какое из двух деревьев лучше подходит для данных?

б. Объясните, почему эти формулы разумно использовать для оценки соответствия. Объясните, как различия между формулами делают их более или менее чувствительными к различным типам ошибок.

Примечание: Фитч и Марголиаш предложили выбрать оптимальное метрическое дерево для соответствия данным как такое,

которое минимизирует

. Алгоритм FM был введен в попытке получить аппроксимацию оптимального дерева.

5.2.9. Смоделируйте данные a1, a2, a3 и a4 в соответствии с моделью Джукса-Кантора с молекулярными часами. Сохраните их в файл seqdata.mat путём ввода save seqdata.mat. Загрузите ранее сохраненные данных из файла seqdata.mat в MATLAB путем ввода load seqdata. Затем исследуйте производительность UPGMA с расстоянием Джукса-Кантора, чтобы построить дерево для последовательностей a1, a2, a3 и a4. Все расстояния между последовательностями можно легко вычислить, поместив последовательности в строки массива с помощью команды a=[a1;a2;a3;a4], а затем используя команду [DJC DK2 DLD]=distances(a). Хотя эта команда вычисляет расстояния, используя каждую из формул Джукса-Кантора, 2-параметрической модели Кимуры и формул логарифмического расстояния, для решения этой задачи используйте только расстояния Джукса-Кантора.

а. Нарисуйте дерево UPGMA для 4 таксонов, пометив каждое его ребро длиной.

б. По длинам ребер вычислите расстояния между таксонами при обходе вдоль дерева. Близки ли они к исходным расстояниям?

5.2.10. Повторите решение предыдущей задачи, но используя алгоритм FM вместо UPGMA. Является ли дерево, которое получится в результате, «лучше», чем то, которое получалось раньше? Объясните почему.

5.2.11. Смоделируйте данные b1, b2, b3, b4 и b5 в соответствии с моделью Джукса-Кантора, но без молекулярных часов. Сохраните их в файле seqdata.mat. Исследуйте возможность применения UPGMA с расстоянием Джукса-Кантора для построения дерева для последовательностей b1, b2, b3, b4 и b5 в файле данных seqdata.mat. Полезные команды MATLAB см. в задаче 5.2.9.

а. Нарисуйте дерево UPGMA для 5 таксонов, пометив каждое ребро его длиной.

б. По длинам ребер вычислите расстояния между таксонами вдоль дерева. Близки ли они к исходным данным?

5.2.12. Повторите решение предыдущей задачи, но используя алгоритм FM вместо UPGMA. Является ли дерево, которое получилось в результате, «лучше», чем то, которое было получено ранее? Объясните почему.

5.2.13. Построение дерева с помощью UPGMA предполагает молекулярные часы. Предположим, что некорневое метрическое дерево на рисунке 5.14 правильно описывает эволюцию таксонов A, B, C и D.

Рисунок 5.14. Дерево для задачи 5.2.13.

а. Объясните, почему, независимо от местоположения корня, молекулярные часы не могли здесь работать.

б. Задайте массив расстояний между каждой парой из четырех таксонов. Выполните UPGMA для этих данных.

в. UPGMA не реконструировала правильное дерево. Что получилось в результате? Что такого было в этом метрическом дереве, что ввело алгоритм в заблуждение?

г. Объясните, почему алгоритм FM также не построит правильное дерево.

5.3. Построение дерева дистанционным методом присоединения соседей

На практике метод UPGMA и FM-алгоритм редко используются для построения дерева, потому что существует дистанционный метод, который как правило работает лучше, чем любой из них. Тем не менее идеи, лежащие в их основе, помогают понять популярный алгоритм присоединения соседей, на котором сосредоточимся в дальнейшем. Чтобы понять, почему UPGMA или FM-алгоритм могут быть ошибочными, рассмотрим метрическое дерево с 4 таксонами на рисунке 5.15. Здесь