Математические модели в естественнонаучном образовании

Соломатин Денис

pre = nxt; % последнее значение будет начальным для следующей итерации

end

end

% построение графика

dcolor = [0,0,1]; % настройка цвета маркера: синий

[r,c] = meshgrid(1:L,a); % наполяем сетку данных координат

surf(r,c,mat,'Marker','*','MarkerSize',p_siz,'FaceColor','None','MarkerEdgeColor', dcolor,'EdgeColor','None')

view([90,0,0]) % фиксируем направление камеры

ylim([a0,a1]) % размещаем данные на диаграмме

end

2. Для популяции со временем регенерации значительно меньшей единицы времени может быть неуместно думать о пропускной способности как о константе. Исследуйте, что произойдет, если пропускная способность изменяется синусоидально. Для начала попробуйте понять следующие команды MATLAB:

t=[0:50]

K=5+sin((2*pi/12)*t)

p=.1; pops=p

for i=1:50

p=p+.2*p*(1-p/K(i));

pops=[pops p];

end

plot(t,K,t,pops)

Рекомендации

 Объясните, почему синусоидально изменяющаяся пропускная способность может иметь физический

или социально-экономический смысл при некоторых обстоятельствах.

 Исследуйте поведение модели для различных вариантов

 и

. Колеблется ли

 вместе с

? Обратите особое внимание на то, когда популяция достигает пика и каково среднее значение

 в долгосрочной перспективе. Соответствуют ли результаты машинных экспериментов вашей интуиции?

 Что происходит, если изменяется частота колебаний пропускной способности? Попробуйте заменить

 в предыдущем примере на

 при разных N.

 По мере увеличения

 эта модель демонстрирует бифуркации? Хаос?

3. Изучите, что произойдет, если пропускная способность изменяется случайным образом в логистической модели, и, в частности, влияние такой пропускная способность на небольшие популяции. Нужно будет знать, что команда rand(1) в MATLAB выдает случайное число в диапазоне от 0 до 1 с равномерным распределением, и что randn(1) генерирует случайное число из нормального распределения с матожиданием 0 и стандартным отклонением 1. Можете начать с использования программы onepop.m с выражением типа 10 + rand(1) в качестве пропускной способности в логистической модели.

Рекомендации

 Возможно, 10*rand(1) или 10+2*randn(1) были бы лучшей формулой для значений

 в экспериментальной модели. Опишите качественные различия между реальными ситуациями, которые могут описывать эти математические выражения.

Для выбранного выражения изучите поведение модели для различных вариантов

 и

. Как ведет себя

? Каково среднее значение

 в долгосрочной перспективе? Соответствуют ли результаты вашей математической интуиции?

 По мере увеличения

 эта модель демонстрирует бифуркации? Хаос?

 Исследуйте, что происходит, если численность популяции небольшая и принимает целые значения. В MATLAB команда floor(p) возвращает ближайшее целое число меньше или равное

. Модель будет похожей на

, где значение

 сначала задаётся константой, а затем изменяется случайным образом.

1.4. Вариации на тему логистической модели

Представляя дискретную логистическую модель в предыдущих разделах, старались делать модель максимально простой, чтобы сосредоточиться на разработке основных идей. Теперь, когда концепции равновесия и стабильности, а также техника построения паутинных диаграмм были разработаны, можно уделить больше внимания созданию более реалистичной модели.

Рассматривая график функции

 от

 на

рисунке 1.9, для модели

, одной из очевидных, но реально невозможных особенностей динамического поведения моделируемой численности, является тот факт, что парабола опускается ниже горизонтальной оси, когда отклоняемся достаточно далеко вправо. Это означает, что большие популяции

 становятся отрицательными на следующем временном этапе. Хотя можно интерпретировать отрицательную популяцию как вымершую, либо как долг, кредитное плечо, в экономических приложениях, но это может быть не то поведение, которое на самом деле произойдет и которое хотели бы, чтобы модель описала.

Рисунок 1.9. Модель с нереалистичными

 начиная с некоторого

.

Возможно, более реалистичная модель допускала бы сколь угодно большие

, от которых значения

 дают очень маленькие, но все же положительные, значения

. Таким образом, популяция, значительно превышающая свою пропускную способность, может немедленно упасть до очень низких уровней, но, по крайней мере, часть популяции выживет. Графически

 должен зависеть от

 так, как показано на рисунке 1.10.

Рисунок 1.10. Новая модель с

.

Функция с таким графиком имеет вид

. Экспонента в этой формуле обеспечивает экспоненциальное убывание, когда движемся по графику горизонтально отдаляясь от начала координат, в то время как коэффициент

 вызывает начальный подъем на графике вблизи начала координат.

Модель

 иногда называют дискретной логистической моделью или моделью Рикера. Такая модель роста популяции, названная в честь её первооткрывателя Билла Рикера, была предложена в далёком 1954 году. Легко вычислить точки равновесия модели, ими являются

 и

. Можно дополнительно проанализировать эту модель, нарисовав паутинную диаграмму и вычислив стабильность равновесий, как делалось неоднократно в предыдущих разделах.

Можно возразить против подхода к моделированию в формате «кролик из шляпы»; без объяснений, откуда взялось уравнение модели Рикера. Но ниже будет дано одно пояснение, важно понимать, что действительно важно, так это то, какие качественные изменения демонстрирует функция на графике, насколько реалистично такое поведение. Если странная формула дает нужный график, то этого уже достаточно для оправдания ей использования.

Для более полного обоснования адекватности модели Рикера вернемся к графику функции изменения численности населения на душу населения

 как функции от

, что в свою очередь стимулировало развитие логистической модели. Единственная причина выбора формулы