Математические модели в естественнонаучном образовании
Шрифт:
Задачи для самостоятельного решения:
1.5.1. Средствами математического анализа исследуйте логистическое дифференциальное уравнение
а. Покажите, что
б. Постройте график функции
в.
Глава 2. Линейные модели структурированных популяций
В предыдущей главе рассматривалась модель линейного разностного уравнения
Однако есть и другой способ, которым модели в предыдущей главе могли быть упрощенными – если относиться ко всем особям в популяции одинаково. В большинстве популяций на самом деле существует много подгрупп, чье жизненное поведение может быть совершенно разным. Например, у людей уровень смертности у младенцев часто выше, чем у детей старшего возраста. Кроме того, дети до возраста полового созревания ничего не вносят в рождаемость. Даже среди взрослых показатели смертности не являются постоянными, но, как правило, эти показатели растут с возрастом.
В нечеловеческих популяциях различия могут быть более экстремальными. Насекомые проходят через ряд различных этапов жизни, таких как яйцо, личинка, куколка и взрослая особь. Показатели смертности могут сильно варьироваться на разных стадиях, и только взрослые способны к размножению. Растения также могут иметь различные стадии, через которые они проходят, такие как спящие семена, рассада, нецветущие и цветение. Как математическая модель может учитывать структуру подгрупп, которая, как ожидается, будет играть большую роль в определении общего роста или сокращения таких популяций?
Для создания структурированных моделей сосредоточимся на линейных моделях. Даже не прибегая к нелинейным формулам, можно получить представление о том, как могут вести себя популяции с различными возрастными группами или стадиями развития. В конечном счете увидим, что поведение этих новых линейных моделей очень похоже на экспоненциальное возрастание и убывание линейной модели из предыдущей главы, с некоторыми важными и интересными нюансами.
2.1. Линейные модели и матричная алгебра
Основная идея моделирования, которую используем, проста. Вместо того, чтобы складывать размер всей популяции, отслеживая одну величину, не обращая внимания на возраст или стадию развития, будет рассматриваться несколько различных величин, таких как количество взрослых и количество детенышей, количество выпускников и количество абитуриентов. Однако ограничимся использованием очень простых уравнений.
Пример. Предположим, что рассматривается гипотетическая популяция с тремя стадиями жизни: яйцо, личинка и взрослая особь (соответственно абитуриент, бакалавр и магистр математического образования). Наша условная популяция такова, что особи прогрессируют от яйца к личинке за один промежуток времени, а от личинки к взрослой особи за другой. Наконец, взрослые особи откладывают яйца и отмирают на следующем этапе (находят своё призвание в другой области и не трудоустраиваются по специальности). Чтобы формализовать это, обозначим за
Предположим, после сбора данные обнаруживается, что только 4% яиц выживают, чтобы стать личинками, только 39% личинок доживают до взрослой жизни, а взрослые особи в среднем производят по 73 яйца. Это может быть выражено тремя уравнениями:
Система из трех разностных уравнений является моделью популяции насекомых. Обратите внимание, поскольку уравнения не содержат более сложных операций, чем те, которые используются при написании уравнении прямой, оправданно называть эту модель линейной. Также обратите внимание, если захотим использовать эту модель для прогнозирования численности будущих популяций, понадобятся три начальных значения,
Вопросы для самопроверки:
– Приведенный пример может быть фактически описан моделью
Конечно, если поймем, что
Пример. Повторно рассмотрим приведенный выше пример, но предположим, что вместо того, чтобы умереть (уйти из профессии), 65% взрослых выживают на протяжении дополнительного временного шага (работают вплоть до пенсии и далее). Тогда модель становится немного сложнее:
Опять же, правомерно называть эту модель линейной, так как все члены имеют первую степень. Однако из-за произведенной модификации уже не ясно, как выразить рост популяции одним уравнением. Очевидно, изменение модели должно привести к еще более быстрому росту популяции. Взрослые особи, которые живут дольше, могут производить больше яиц, производя еще больше взрослых особей, которые выживают дольше, и так далее. Однако новые темпы роста отнюдь не очевидны.
Пример. Предположим, нас интересует лес, состоящий из двух видов деревьев, где
Вопросы для самопроверки:
– Объясните смысл каждой операции в этих уравнениях.
После упрощения модель представляет собой систему из двух линейных разностных уравнений
,
.
В отличие от предыдущих двух примеров, нет очевидного предположения о том, как будут вести себя популяции, смоделированные этими уравнениями.
Чтобы прийти к пониманию, предположим, что популяция начинается с