Хотя это был лишь один пример вычисления собственного вектора конкретной матрицы
, для любой
– матрицы процедура работает одинаково. Хотя не будем доказывать это здесь, подробности раскрываются в классической теореме Кронекера-Капелли,
в данном случае всегда одно из уравнений окажется кратным другому, поэтому можно решить его, выражая
через
(или
через
), чтобы найти все собственные векторы.
Как и в случае с собственными значениями, вычисление собственных векторов для матриц размерности 3 x 3 или более выполняется аналогичным образом как для 2 x 2 случаев, хотя возникают некоторые дополнительные трудности. Оставим обсуждение деталей для курса линейной алгебры и вместо этого научимся использовать MATLAB для таких вычислений.
Существуют различные компьютерные методы расчета. На самом деле, MATLAB и другие компьютерные пакеты на самом деле не вычисляют собственные векторы и собственные значения так, как описано выше. Поскольку вычисление собственных векторов и значений очень важно не только для учебных моделей, но и для множества открытых проблем в науке и технике, были давно разработаны и включены во многие стандартные пакеты программного обеспечения довольно продвинутые сложные методы.
Хотя на самом деле не будем погружаться в детали каких-либо методов, используемых этими пакетами, поверхностно опишем один из подходом, обсудив ниже «степенной метод».
Зададим матрицу перехода
, выберем любой начальный вектор
и вычислим
. Согласно сильной эргодической теореме, если
является доминирующим собственным значением
с
соответствующим собственным вектором
, то должны ожидать, что
будет ближе к
, чем было
. Но поскольку еще не знаем значения
, нужно каким-то образом скорректировать
, чтобы учесть фактор изменения его длины. Один из способов сделать это – просто разделить каждую компоненту вектора
на самую большую из его компонент, чтобы получить новый вектор, который назовём
. Это означает, что
будет иметь хотя бы одну компоненту равную 1 и будет «ближе» чем
к тому вектору, который в пределе окажется собственным. Так на рисунке 2.4 красный «приблизился» к синему в результате трансформации векторов пространства.
Затем можно повторить процесс, используя
вместо
, чтобы получить еще лучшее приближение собственного вектора. Конечно, затем предстоит повторять процесс снова и снова, пока не обнаружим, что приближения в собственному вектору меняются незначительно.