Математические модели в естественнонаучном образовании

Соломатин Денис

Рисунок 1.3. Паутинная диаграмма нелинейной модели.

Судя по графику ясно, что если начальная популяция

 лежит в диапазоне от 0 до

, то модель с

 и

 приведёт

к постоянно растущему значению популяции, которое приближается к предельному значению пропускной способности равному 10.

Если оставить те же значения

 и

, но положить

, то паутина будет выглядеть так, как показано на рисунке 1.4.

Рисунок 1.4. Паутинная диаграмма нелинейной модели.

Действительно, становится ясным, что если

 имеет значение больше, чем

, то наблюдается немедленное падение численности популяции. Если такое падение окажется ниже критического, то произойдёт постепенное увеличение, приближающееся обратно к предельному значению пропускной способности модели.

Вопросы для самопроверки:

– Для модели

 найдите отличное от нуля значение

, соответствующее абсциссе точки пересечения параболы с горизонтальной осью, то есть имеющей ординату

.

– Что произойдет, если

 выбрать больше, чем значение, найденное в предыдущем вопросе?

Если популяция становится отрицательной, то мы должны интерпретировать это как вымирание.

На этом этапе можно узнать гораздо больше, изучая логистическую модель с помощью калькулятора или компьютера, чем просто прочитав текст. Упражнения ниже помогут в этом. На самом деле обнаружится, что логистическая модель имеет некоторые сюрпризы, которые вы, возможно, не ожидаете.

Задачи для самостоятельного решения:

1.2.1. Пусть

 и

. С помощью калькулятора составьте таблицу популяционных значений

 для

.

Изобразите полученные результаты на графике.

1.2.2. В модели

, какие значения

 приведут к тому, что

 окажется положительным? Отрицательным? Какой смысл это имеет?

1.2.3. Повторите решение задачи 1 в MATLAB с помощью команд аналогичных следующим:

p=1; x=p

for i=1:22; p=p+.3*p*(1-p/15); x=[x p]; end

plot([0:22], x)

Объясните, как это работает.

1.2.4. Используя следующую программу onepop.m для MATLAB при различных значениях

, исследуйте долгосрочное поведение модели

, где

. Возможно, придется изменить количество шагов, с которыми вы запускаете модель, чтобы изучить некоторые из вариантов.

% onepop.m

%

% Модель популяции одного вида

%

% У пользователя запрашивается уравнение, определяющее модель. Затем, кликнув

% по начальной численности популяции на графике, динамика популяции как функция

% от времени будет изображена в виде графика. После выполнения симуляции

% при нажатии клавиши 'd' числовые данные отобразятся в командное окно MATLAB.

%

p=0; % инициализация переменной популяции для формулы

%

disp(' ')

disp(' Введите формулу, определяющую модель популяции, обозначая за "p"')

disp('численность популяции: (Например: следующее_p = p+.8*p*(1-p/10) )')

next_p=input ('следующее_p = ','s');

%

p=eval(next_p); % тестируемая формула

%

disp(' ')

disp(' Введите диапазон популяции, который будет отображаться на графике:');

limits=input('(Значение по умолчанию [pmin pmax] = [0 20]) ');

if isempty(limits) limits=[0 20]; end;

%

disp(' ')

n=input(' Введите количество шагов для итерации: (по умолчанию n = 20) ');

if isempty(n) n=20; end;

%

disp(' ')

disp(' Наведите курсор на график, чтобы выбрать начальную популяцию и')

disp('кликните для рисования. Нажмите `d'', чтобы отобразить значения популяции')

disp('в командном окне. Нажмите любую другую клавишу, чтобы выйти.')

disp(' ')

disp(' Нажмите любую клавишу, чтобы начать.')

pause

%

figure; % настроить отображение нового графика

axis([ [0 n] limits]); grid on;

xlabel('Время');ylabel('Популяция P');

title(['следующее\_p=',next_p]);

hold on; % сохранение линий на графике при добавлении новых

%

times=[0:n]; % генерировать вектор времени для построения графика

%

newcontinue=1;

while newcontinue % цикл, пока не будет нажата не левая кнопка

[t,p,button]=ginput(1); % получить начальную численность популяции

if button==1

pops=p;

for i=1:n % построить вектор итерационных значений популяции

p=eval(next_p);

pops=[pops,p];

end

plot(times,pops); % график зависимости численности популяции от времени

else

newcontinue=0; % флаг выхода из цикла

if button==100

[times;pops]' % отобразить время и численность в командном окне