Математика для любознательных
Шрифт:
c) 3 + 4/5 + 3/25 + 1/125 = 3 116/125
d) 2 + 5/7 + 5/49 + 5/343 = 2 285/343 = 2 5/6.
В правильности последнего равенства читатель легко может убедиться, если попробует применить к данному случаю, с соответствующим видоизменением, рассуждения, относящиеся к превращению десятичных периодических дробей в простые.
В заключение рассмотрим еще две задачи особого рода:
По
По какой системе счисления выполнено деление:
Ответы:
Напишите число сто тринадцать во всех системах счисления до девятиричной включительно.
(Решение см. на стр. 231 .)
Чему равно число «123», если считать его написанным во всех системах счисления до девятиричной включительно? Возможно ли, что оно написано по двоичной системе? А по троичной? Если оно написано по пятиричной системе, то можете ли вы узнать, не переписывая его по десятичной системе, делится ли оно без остатка на два? Если оно написано по семиричной системе, то делится ли оно без остатка на шесть? Если оно написано по девятиричной системе, то делится ли оно без остатка на четыре?
(Решение см. на стр. 256 .)
Глава V
Галерея числовых диковинок
Арифметическая кунсткамера
В мире чисел, как и в мире живых существ, встречаются подлинные диковинки, редкие экземпляры, обладающие исключительными свойствами. Из таких необыкновенных чисел можно было бы составить своего рода музей числовых редкостей, настоящую «арифметическую кунсткамеру». В ее витринах нашли бы себе место не только числовые исполины, о которых мы побеседуем еще в особой главе, но и числа сравнительно небольшие, зато выделяющиеся из ряда других какими-либо необычайными свойствами. Некоторые из них уже по внешности привлекают к себе внимание; другие открывают свои диковинные особенности лишь при более близком знакомстве.
Приглашаю читателя пройтись со мною по галерее таких числовых диковинок и познакомиться с некоторыми из них.
Пройдем, не останавливаясь, мимо первых витрин, заключающих числа, свойства которых нам уже знакомы. Мы знаем уже, почему попало в галерею диковинок число 2: не потому, что оно первое четное число, а потому, что оно - основание самой удобной системы счисления (см. стр. 191 ).
Не удивимся мы, встретив тут 5 - одно из наших любимейших чисел, играющее важную роль при всяких «округлениях», в том числе и при округлении цен, которое обходится нам так дорого (см. стр. 154 ). Не будет неожиданностью для нас найти здесь и число 9, - конечно, не как «символ постоянства» [64] , а как число, облегчающее нам поверку всех арифметических действий (см. стр. 174 ). Но вот витрина, за стеклом которой мы видим -
64
Древние (последователи Пифагора) считали 9 символом постоянства, так как все числа, кратные 9, имеют сумму цифр, кратную 9-ти.
Число 12
Чем
Хорошо ли, что в борьбе между дюжиной и десяткой победила последняя? Конечно, сильными союзницами десятки были и остаются наши собственные руки с десятью пальцами, - живые счетные машины. Но если бы не это, то следовало бы безусловно отдать предпочтение 12-ти перед 10. Гораздо удобнее производить расчеты по 12-ричной системе, нежели по 10-тичной. Причина та, что число 10 делится без остатка только на 2 и на 5, между тем как 12 делится и на 2, и на 3, и на 4, и на 6. У 10 всего два делителя, у 12 - четыре. Преимущества 12-ричной системы станут вам яснее, если вы примете в соображение, что в 12-ричной системе число, оканчивающееся нулем, кратно и 2, и 3, и 4, и 6; подумайте, как удобно дробить число, когда и 1/2, и 1/3, и 1 1/4 и 1/6 его должны быть целыми числами! А если выраженное в 12-ричной системе число оканчивается двумя нулями, то оно должно делиться без остатка на 144, а следовательно, и на все множители 144-х, т. е. на следующий длинный ряд чисел:
2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144.
Четырнадцать делителей - вместо тех восьми, которые имеют числа, написанные в 10-тичной системе, если оканчиваются двумя нулями (2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100). В нашей системе только дроби вида 1/2, 1/4, 1/5, 1/20 и т. д. превращаются в конечные десятичные; в 12-ричной же системе можно написать без знаменателя гораздо более разнообразные дроби, и прежде всего дроби:
1/2, 1/3, 1/4, 1/6, 1/8, 1/9, 1/12, 1/16, 1/18, 1/24, 1/36, 1/48, 1/72, 1/144,
которые соответственно изобразятся так:
0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,16; 0,14; 0,1; 0,09; 0,08; 0,06; 0,04; 0,03; 0,02; 0,01.
Было бы, однако, большим заблуждением думать, что делимость числа может зависеть от того, в какой системе счисления оно изображено. Если орехи, заключающиеся в данном мешке, могут быть разложены в 5 одинаковых кучек, то это свойство их, конечно, не изменится оттого, будет, ли наше число орехов выражено в той или иной системе счисления, или отложено на счетах, или написано прописью, или, наконец, изображено каким-либо иным способом. Если число, написанное в 12-ричной системе, делится на 6 или на 72, то, будучи выражено в другой системе счисления, например в 10-тичной, оно должно иметь тех же делителей. Разница лишь в том, что в 12-ричной системе делимость на 6 или на 72 легче обнаружить (число оканчивается одним или двумя нулями). Когда говорят о преимуществах 12-тиричной системы в смысле делимости на большое число делителей, то имеют в виду, что благодаря склонности нашей «к круглым» числам на практике будут чаще встречаться числа, оканчивающиеся, в 12-ричной системе, нулями.