Математика для любознательных
Шрифт:
32 x 13 = 1 x 416.
Однако как поступить, если при этом приходится делить пополам число нечетное?
Народный способ легко выходит из этого затруднения. Надо - гласит правило, - в случае нечетного числа откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца; сумма и будет искомым произведением. Практически это делают так, что все строки с четными левыми числами зачеркивают; остаются только те, которые содержат налево нечетное число. Приведем пример (звездочка указывает, что данную строку надо зачеркнуть):
19 x 17
9 x 34
4 x 68*
2 x 136*
1 x 272.
Сложив незачеркнутые числа, получаем вполне правильный результат: 17 + 34 + 272 = 323.
На чем основан этот прием?
Обоснованность
19 x 17 = (18 + 1) x 17 = 18 x 17 + 17,
9 x 34 = (8 + 1) x 34 = 8 x 34 + 34, и т. п.
Ясно, что числа 17, 34 и т. п., утрачиваемые при делении нечетного числа пополам, необходимо прибавить к результату последнего умножения, чтобы получить произведение.
Из страны пирамид
Весьма вероятно, что сейчас описанный способ дошел до нас из глубочайшей древности и из отдаленной страны - из Египта. Мы мало знаем, как производили действия обитатели древней Страны Пирамид. Но сохранился любопытный документ - папирус, на котором записаны арифметические упражнения ученика одной из землемерных школ древнего Египта; это так называемый «папирус Ринда», относящийся ко времени между 200 и 1700 гг. до нашей эры [56] и представляющий собою копию еще более древней рукописи, переписанную неким Аамесом. Писец [57] Аамес, найдя «ученическую тетрадку» этой отдаленнейшей эпохи, тщательно переписал все арифметические упражнения будущего землемера, - вместе с их ошибками и исправлениями учителя, - и дал своему списку торжественное заглавие, которое дошло до нас в следующем неполном виде:
56
Папирус был разыскан английским египтологом Генри Риндом; он оказался заключенным в металлический футляр. В развернутом виде имеет 20 метров длины, при 30 сантиметрах ширины. Хранится в Британском Музее, в Лондоне.
57
Звание «писец» принадлежало третьему классу египетских жрецов; в ведении их находилось «все относившееся к строительной части храма и к его земельной собственности». Математические, астрономические и географические знания составляли их главную специальность (В. Бобынин).
«Наставление, как достигнуть знания всех темных вещей… всех тайн, сокрытых в вещах.
Составлено при царе Верхнего и Нижнего Египта Ра-а-усе, дающем жизнь, по образцу древних сочинений времен царя Ра-ен-мата писцом Аамесом».
В этом интересном документе, насчитывающем за собою около 40 веков и свидетельствующем о еще более глубокой древности, мы находим четыре примера умножения, выполненные по способу, живо напоминающему наш русский народный способ. Вот эти примеры (точки впереди чисел обозначают число единиц множителя; знаком + мы отметили числа, подлежащие сложению):
Вы видите из этих примеров, что еще за тысячелетия до нас египтяне пользовались приемом умножения, довольно сходным с нашим крестьянским, и что неведомыми путями он как бы перекочевал из древней Страны Пирамид в современную русскую деревню. Если бы обитателю земли фараонов предложили перемножить, например, 19 x 17, он произвел бы это действие следующим образом: написал бы ряд последовательных удвоений числа 17:
и затем сложил бы те числа, которые отмечены здесь знаком +, т. е. 17 + 34 + 272. Он получил бы, конечно, вполне правильный результат: 17 + (2 x 17) + (16 x 17) = 19 x 17. Легко видеть, что подобный прием по существу весьма близок к нашему «крестьянскому» (замена умножения рядом последовательных удвоений).
Трудно сказать, у одних ли наших крестьян сохранился в настоящее время такой древний способ умножения; английские авторы называют его именно «русским крестьянским способом»; в Германии простой народ кое-где хотя и пользуется им, но также называет его «русским».
Чрезвычайно интересно было бы получить от читателей сведения о том, применяется ли в их местности этот древний способ умножения, имеющий за собой такое долгое и оригинальное прошлое [58] .
Следовало бы вообще с большим вниманием относиться к народной математике: вникать в употребляемые народом приемы счета и измерений,
58
Составитель был бы весьма признателен за письменные сообщения (по адресу, указанному в предисловии).
Глава IV
Недесятичные системы счисления
Загадочная автобиография
Эту главу позволю себе начать с задачи, которую я придумал когда-то для читателей одного распространенного тогда журнала [59] в качестве «задачи на премию». Вот она:
59
«Природа и Люди» (потом она была перепечатана мною в сборнике Е. И. Игнатьева «В царстве смекалки»).
«В бумагах одного чудака-математика найдена была его автобиография. Она началась следующими строками:
«Я окончил курс университета 44 лет от роду. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился на 34-летней девушке. Незначительная разница в возрасте - всего 11 лет, - способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет, у меня была уже и маленькая семья из 10 детей. Жалованья я получал в месяц всего 200 рублей, из которых 1/10 приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 130 руб. в месяц» и т. д.
Чем объяснить странные противоречия в числах этого отрывка?»
Решение задачи подсказывается названием этой главы: недесятичная система счисления - вот единственная причина кажущейся противоречивости приведенных чисел. Напав на эту мысль, нетрудно догадаться, в какой именно системе счисления изображены числа чудаком-математиком. Секрет выдается фразой: «спустя год (после 44-летнего возраста), 100-летним молодым человеком…» Если от прибавления одной единицы число 44 преображается в 100, то, значит, цифра 4 - наибольшая в этой системе (как 9 - в десятичной), а следовательно, основанием системы является 5. Чудаку-математику пришла фантазия написать все числа своей биографии по пятиричной системе счисления, т. е. по такой, в которой единица высшего разряда не в 10, а в 5 раз больше единицы низшего; на первом справа месте стоят в ней простые единицы (не свыше четырех), на втором - не десятки, а пятерки; на третьем не сотни, а «двадцатипятерки» и т. д. Поэтому число, изображенное в тексте записки «44», означает не 4 x 10 + 4, как в десятичной системе, а 4 x 5 + 4, т. е. двадцать четыре. Точно так же число «100» в автобиографии означает одну единицу третьего разряда в пятиричной системе, т. е. 25. Остальные числа записки соответственно означают:
Восстановив истинный смысл чисел записки, мы видим, что в ней никаких противоречий нет.
Я окончил курс 24 лет от роду. Спустя год, 25-летним молодым человеком, я женился на 19-летней девушке. Незначительная разница в возрасте - всего 6 лет - способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 5 детей. Жалованья я получал 50 рублей, из которых 1/5 приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 40 рублей».