Математика для любознательных
Шрифт:
Вот, наконец, третья числовая пирамида, также требующая объяснения:
Эта пирамида есть прямое следствие первых двух. Связь устанавливается очень легко. Из первой пирамиды мы знаем уже, что, например:
12345 x 9 + 6 = 111111.
Умножив обе части на 8, имеем:
(12345 x 8 x 9) + (6 x 8) = 888888.
Но из второй пирамиды мы знаем, что
12345 x 8 + 5 = 98765, или 12345 x 8 = 98760.
Значит:
888888 = (12345 x 8 x 9) + (6 x 8) = (98760 x 9) + 48 = (98760 x 9) + (5 x 9) + 3 = (98760 + 5) x 9 + 3 = 98765 x 9 + 3.
Вы убеждаетесь, что оригинальные
Девять одинаковых цифр
Конечная строка первой из сейчас ( стр. 215 ) рассмотренных «пирамид»:
12345678 x 9 + 9 = 111111111
представляет образчик целой группы интересных арифметических курьезов, собранных в нашем музее в следующую таблицу:
Откуда такая закономерность в результатах?
Примем во внимание, что
12345678 x 9 + 9 = (12345678 + 1) x 9 = 12345679 x 9.
Поэтому
12345679 x 9 = 111111111.
А отсюда прямо следует, что
12345679 x 9 x 2 = 222222222
12345679 x 9 x 3 = 333333333
12345679 x 9 x 4 = 444444444 и т. д.
Цифровая лестница
Что получится, если число 111111111, с которым мы сейчас имели дело, умножить само на себя? Заранее можно предвидеть, что результат должен быть диковинный, - но какой именно?
Если вы обладаете способностью отчетливо рисовать в воображении ряды цифр, вам удастся найти интересующий нас результат, даже не прибегая к выкладкам на бумаге. В сущности здесь дело сводится только к надлежащему расположению частных произведений, потому что умножать приходится все время лишь единицу на единицу - действие, могущее затруднить разве лишь Фонвизинского Митрофанушку, размышляющего о результате умножения «единожды один». Сложение же частных произведений сводится к простому счету единиц [66] . Вот результат этого единственного в своем роде умножения (при выполнении которого, впрочем, не приходится ни разу прибегать к действию умножения):
66
В двоичной системе счисления, как мы уже объясняли (см. стр. 195-196), все умножения именно такого рода. На этом примере мы наглядно убеждаемся в преимуществах двоичной системы.
Все девять цифр выстроены в стройном порядке, симметрично убывая от середины в обе стороны.
Те из читателей, которых утомило обозрение числовых диковинок, могут покинуть здесь эту галерею и перейти в следующие отделения, где показываются фокусы и выставлены числовые великаны и карлики; я хочу сказать, - они могут прекратить чтение этой главы и обратиться к дальнейшим. Но кто желает познакомиться еще с несколькими интересными достопримечательностями мира чисел, тех приглашаю осмотреть со мною небольшой ряд ближайших витрин.
Магические
Что за странные кольца выставлены в следующей витрине нашей галереи? Перед нами (см. рис. след. стр.) три плоских кольца, вращающихся одно в другом. На каждом кольце написаны шесть цифр в одном и том же порядке, иначе говоря - написано одно и то же число: 142857. Эти кольца обладают следующим удивительным свойством: как бы ни были они повернуты, мы при сложении двух написанных на них чисел - считая от любой цифры в направлении начерченной стрелки - во всех случаях получим то же самое шестизначное число (если только результат вообще будет 6-ти значный), лишь немного подвинутое! В том положении, например, какое изображено на прилагаемом чертеже, мы получаем при сложении двух наружных колец:
т. е. опять-таки тот же ряд цифр: 142857, только цифры 5 и 7 перенеслись из конца в начало.
При другом расположении колец относительно друг друга мы имеем такие случаи:
Исключение составляет единственный случай, когда в результате получается 999999.
Мало того. Тот же ряд цифр в той же последовательности мы получим и при вычитании чисел, написанных на кольцах. Например:
Исключение составляет случай, когда приведены к совпадению одинаковые цифры - тогда, разумеется, разность равна нулю.
Но и это еще не все. Умножьте число 142857 на 2, на 3, на 4, на 5 или на 6 - и вы получите снова то же число, лишь передвинутое, в круговом порядке, на одну или несколько цифр:
Чем же обусловлены все загадочные особенности этого числа?
Мы нападаем на путь к разгадке, если продлим немного последнюю табличку и попробуем умножить наше число на 7: в результате получится 999999. Значит, число наше - не что иное, как седьмая часть 999999, а, следовательно, дробь И действительно, если вы станете превращать 1/7 в десятичную дробь, вы получите:
Наше загадочное число есть период бесконечной периодической дроби, которая получается при превращении 1/7 в десятичную. Становится понятным теперь, почему при удвоении, утроении и т. д. этого числа происходит лишь перестановка одной группы цифр на другое место. Ведь умножение этого числа на 2 делает его равным 2/7 и, следовательно, равносильно превращению в десятичную дробь уже не 1/7, а 2/7. Начав же превращать дробь 2/7 в десятичную, вы сразу заметите, что цифра 2 - один из тех остатков, которые у нас получались уже при превращении 1/7; ясно, что должен повториться и прежний ряд цифр частного, но он начнется с другой цифры; иными словами, должен получиться тот же период, но только несколько начальных цифр его очутятся на конце. То же самое произойдет и при умножении на 3, на 4, на 5 и на 6, т. е. на все числа, получающиеся в остатках. При умножении же на 7 мы должны получить целую 1-цу, или, - что то же самое - 0,9999…