Математика от А до Я: Справочное пособие (издание третье с дополнениями)

Романов Алексей Михайлович

Вводятся характерные масштабы задачи: пространственный — диаметр термина L = 2R₀, скоростной — конвективная скорость

, временной

. Температура и плотность нормируются на соответствующие значения атмосферного воздуха у поверхности земли:

То = Т_а(0); Р₀ = Р_а (0); р₀=Ар₀Т₀.

В

результате обезразмеривания возникают следующие определяющие параметры задачи:

Преобразованная система дифференциальных уравнений аппроксимируется с помощью разностных схем и решается на ЭВМ.

Анализ результатов расчетов показал, что процесс подъема термиков, как изолированных, так и приповерхностных (после отрыва от плоскости), условно можно разбить на четыре этапа.

Первый этап — разгон с практически постоянным ускорением; второй этап — приблизительно движение с постоянной скоростью; третий этап — подъем в автомодельном режиме (Аг = (А^)¹²); четвертый этап — размывание термика за счет диссипации до достижения им положения равновесия (зависание и колебание около положения равновесия с постепенным диффузионным «рассасыванием»).

Максимальная приземная скорость, вычисленная по формуле работы [120], для крупномасштабных полусферических термиков

составляет 20 м/с, а время отсекания его от поверхности ~2 : 3 с. Скорость подъема термика, складывающаяся из составляющей сил Архимеда и составляющей собственного вихря, для техногенных термиков не превосходит нескольких десятков метров в секунду.

4.4. Тепловые колонки

При больших открытых пожарах в атмосфере возникают крупномасштабные конвективные движения, способствующие переносу газоаэрозольных продуктов горения и дымления на значительные расстояния. Такие атмосферные образования называют конвективными колонками [17, 27–33]. Конвективные колонки приводят к загрязнению верхних слоев атмосферы большим количеством мелкодисперсного оптически активного аэрозоля и могут вызвать как региональные погодные, так и глобальные климатические изменения. При образовании конвективной колонки над большим площадным пожаром происходит формирование вертикального переноса аэрозолей в верхние слои тропосферы и нижнюю стратосферу.

Распространение продуктов горения от крупных пожаров с помощью метеорологических моделей дождевых облаков исследовалось в [27, 28], в приближении Буссинеска в [29, 30]; с использованием уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа с постоянными эффективными коэффициентами турбулентного переноса — в [31]. Формирование конвективной колонки над пожарами исследовалось в [32], струи метеотрона — в [33].

Представим математическую модель конвективной колонки на основе работы [17], в которой численно исследуется динамика формирования осесимметричной колонки продуктов горения с учетом фазовых переходов, обусловленных наличием влаги в атмосфере.

Очаг пожара моделируется объемным источником тепла Q_l (Вт/м³) и массы мелкодисперсного инертного аэрозоля S_c (кг/с/м³) с заданным законом их изменения во времени. Предполагается, что величины Q_t и S_c постоянны внутри цилиндрической зоны тепловыделения

с радиусом R₀ и высотой h и равны нулю вне этой зоны. При рассмотрении развития турбулентных конвективных движений вязкого сжимаемого и теплопроводного газа над очагом пожара в неподвижной влажной стратифицированной атмосфере учитывается, что влажный воздух, вовлекаемый конвекцией, в процессе подъема и расширения охлаждается. При достижении условий насыщения водяной пар конденсируется с выделением тепла. Для учета теплоты парообразования в центрах конденсации вводят дополнительные объемные источники тепла [34]:

где L — удельная скрытая теплота конденсации; р — плотность смеси сухого воздуха, пара, сконденсированной влаги и дымового аэрозоля; F_l — удельное содержание сконденсированной влаги, определяемое как разница между удельной влажностью F и насыщающей влажностью F_m; t — время.

Плотность паровоздушной смеси записывается в виде [33]:

р = р_в(1–0,608 F + F₁ + с),

где с — удельная концентрация дымового аэрозоля.

Плотность сухого воздуха р_в удовлетворяет уравнению состояния

где Р — давление, Т — температура, R — газовая постоянная для воздуха.

Удельная влажность F_m, при которой водяной пар в воздухе достигает насыщения, определяется из уравнения:

где

E_m(T) — парциальное давление насыщенного водяного пара (Н/м²), определяемое по формуле Магнуса [34]:

E_m(T) = 610 ехр (Т),

а(Т) =17,27(Т — 273,16)/(T — 35,86).

Формирование и подъем конвективной колонки дымового аэрозоля рассматривается в рамках односкоростной и однотемпературной модели дисперсной среды, применение которой правомерно, так как размеры дисперсных частиц (дым, пар, капли) намного превышают характерные молекулярно-кинетические пробеги, а время их скоростной и температурной релаксации значительно меньше времени развития конвективных движений. Кроме того предполагается малое объемное содержание дисперсной фазы, не учитываются эффекты столкновения частиц, коагуляция, образование дождевых капель и их выпадение.

Начало цилиндрической системы координат г, z выбирается в центре пожара на поверхности земли. Тогда система уравнений Навье-Стокса, определяющая развитие конвективных движений среды при пожаре, имеет следующий вид:

В этих соотношениях: u, V — радиальная и вертикальная составляющая скорости; C_v — теплоемкость газа при постоянном объеме; g — ускорение свободного падения; , — коэффициенты динамической вязкости и теплопроводности.