Начало бесконечности. Объяснения, которые меняют мир
Шрифт:
В 1901 году Бюро переписи населения США опубликовало таблицу, показывающую, каким должно быть пропорциональное распределение для каждого количества мест в палате между 350 и 400 при использовании правила Гамильтона. Волею арифметики, как это часто бывает при пропорциональном распределении, штату Колорадо доставалось три места при любом их общем числе, за исключением 357, при котором штат получал только два места. Председатель комитета палаты представителей по распределению мест (он был родом из Иллинойса, и я не знаю, имел ли он что-нибудь против Колорадо) предложил использовать правило Гамильтона и изменить количество мест на 357. К этому предложению отнеслись с подозрением, и конгресс в конце концов его отклонил, приняв пропорциональное распределение 386 мест по методу Вебстера, по которому Колорадо доставались его «законные» три места. Но был ли этот вариант на самом деле правомернее, чем правило Гамильтона в применении к 357 местам? По какому критерию это определялось? Или правило распределения мест надо было выбирать большинством голосов?
Почему нельзя было посмотреть на результаты применения большого числа конкурирующих
Адвокат дьявола теперь может спросить: если выбор правила распределения большинством голосов – плох, то что хорошего в идее выборов большинством голосов избирателей? Для науки, скажем, это было бы губительно. Ведь астрологов больше, чем астрономов, а те, кто верит в «сверхъестественное», часто указывают, что число якобы свидетелей таких явлений многократно превосходит число свидетелей большинства научных экспериментов. Поэтому они и требуют пропорциональной степени доверия. Однако наука отказывается оценивать данные таким образом: она придерживается критерия разумного объяснения. Так почему, если для науки принять такой «демократический» принцип было бы неправильным, это правильно для политики? Просто потому, что Черчилль когда-то выступил в его защиту и сказал: «Много форм правления применялось и еще будет применяться в этом грешном мире. Все понимают, что демократия не является совершенной. Правильно было сказано, что демократия – наихудшая форма правления, за исключением всех остальных, которые пробовались время от времени»? [89] В самом деле, чем не основание? Но есть и реальные убедительные причины, и они тоже связаны с объяснениями, как я покажу далее.
89
Цитируется по: Серов В. В. Энциклопедический словарь крылатых слов и выражений (2003). – Прим. ред.
Иногда политики бывали так озадачены теми странными эффектами, к которым приводили парадоксы пропорционального распределения, что доходило до обвинений в адрес самой математики. В 1882 году член палаты представителей от штата Техас Роджер Миллс жаловался: «Я думал… что математика – божественная наука. Я думал, что это единственная из наук, которая обращается к вдохновению и непогрешима в своих утверждениях, [но] вот перед нами новая математическая система, которая показывает, что истина – это ложь». В 1901 году член палаты представителей Джон Литтлфилд, чье собственное место от штата Мэн было под угрозой из-за парадокса Алабамы, сказал: «Господи, помоги штату Мэн, когда математика доберется до него и решит его повергнуть».
Собственно говоря, нет такой вещи, как математическое «вдохновение» (то есть появления математического знания из безошибочного источника, традиционно считающегося Богом): как я объяснял в главе 8, наши математические знания не безошибочны. Но если конгрессмен Миллс имел в виду, что математики могут или неким образом обязаны лучше всех в обществе судить о справедливости, то он просто ошибался [90] . В комиссию Национальной академии наук США, которая готовила доклад для конгресса в 1948 году, входил математик и физик Джон фон Нейман. Комиссия пришла к заключению, что правило, изобретенное статистиком Джозефом Хиллом (и используемое в настоящее время), менее всего предвзято по отношению к штатам. Но после этого математики Мишель Балинский и Пейтон Янг впоследствии показали, что правило Хилла благоволит штатам меньшего размера. Это еще раз иллюстрирует, что различные критерии «беспристрастности» отдают предпочтение различным методам пропорционального распределения и математика не может определить, какой из этих критериев правильный. Если жалоба Миллса и носила иронический характер, если в действительности он имел в виду, что сама по себе математика, наверное, не может приводить к несправедливости и что сама по себе она не может избавить от нее, то он был прав.
90
Конечно же, это должны быть физики. – Прим. автора.
Однако существует математическое открытие, которое навсегда изменило природу споров о пропорциональном распределении: теперь мы знаем, что поиск метода пропорционального распределения, который будет и пропорционален, и свободен от парадоксов одновременно, никогда не завершится успехом. Это доказали Балински и Янг в 1975 году.
Всякий метод пропорционального распределения, который удовлетворяет правилу квоты, приводит к парадоксу населения.
Эта
Эта работа имела гораздо более широкий контекст, чем проблема пропорционального распределения. На протяжении XX века и особенно после Второй мировой войны основные политические движения пришли к согласию в том, что будущее благосостояние человечества будет зависеть от совершенствования в области планирования и принятия решений в масштабах общества (а лучше в мировых масштабах). Западный взгляд отличался от подходов тоталитарных противников тем, что был нацелен на удовлетворение предпочтений отдельных граждан. Таким образом, западные сторонники планирования в масштабах общества были вынуждены взяться за фундаментальный вопрос, с которым тоталитаристы не сталкивались: когда перед обществом в целом встает выбор, а предпочтения граждан разнятся, какой вариант выбора является для общества наилучшим? Если люди единодушны в выборе, то проблемы нет, но планировщик тогда не нужен. Если же они не единодушны, то какой вариант можно рационально обосновать как «волю народа» – вариант, к которому «склоняется» общество? И тогда возникает второй вопрос: как в обществе должен быть организован процесс принятия решений, чтобы выбирались действительно те варианты, к которым общество «склоняется»? Эти два вопроса существовали, по крайней мере неявно, с самого зарождения современной демократии. Например, и в Декларации независимости США, и в Конституции США говорится о праве «народа» на определенные действия, например на смену правительства. Сегодня эти вопросы стали центральными в области математической теории игр, называемой теорией социального выбора.
Таким образом, теория игр, ранее малоизвестная и немного странная ветвь математики, вдруг оказалась в центре деятельности человека, как до нее – ракетостроение и ядерная физика. Многие из величайших математических умов, включая фон Неймана, занялись развитием теории игр в интересах бесчисленного множества учреждаемых институтов коллективного принятия решений. Предстояло создать новые математические инструменты, с помощью которых можно, учитывая пожелания, потребности или предпочтения членов общества, сделать вывод о том, чего «хочет» общество, реализуя тем самым установку на осуществление «воли народа». Они также должны были определить, какие системы голосования и законотворчества дадут обществу то, что оно хочет получить.
Были открыты некоторые интересные математические закономерности, но лишь малая их доля, если таковые вообще были, позволяла удовлетворить этим устремлениям. Напротив, снова и снова с помощью теорем о невозможности, подобных теореме Балинского – Янга, доказывалось, что предположения, стоящие за теорией социального выбора, непоследовательны или несостоятельны.
Таким образом, оказалось, что проблема пропорционального распределения, которая поглотила столько времени, сил и энтузиазма законодателей, была лишь верхушкой айсберга. Эта проблема гораздо менее парохиальна, чем кажется. Например, ошибки округления пропорционально уменьшаются с увеличением числа мест в законодательном органе. Так почему бы просто не сделать его очень большим, скажем, десять тысяч членов, чтобы все ошибки округления стали ничтожно малы? Во-первых, потому, что для принятия решений такой законодательный орган должен был бы самоорганизовываться изнутри. Фракциям внутри органа самим пришлось бы выбирать лидеров, политические курсы, стратегии и так далее. Как следствие, все проблемы социального выбора возникли бы внутри маленького «общества» – фракции определенной партии в законодательном органе. Выходит, дело не сводится к ошибкам округления. Но и основными предпочтениями людей оно не исчерпывается: если приглядеться к деталям процесса принятия решений в больших группах – к тому, как законодательные органы, партии и фракций внутри них самоорганизуются, чтобы присовокупить свои пожелания к «желаниям общества», – то окажется, что нужно учитывать и второй, и третий по важности варианты выбора. Ведь у людей должно оставаться право участвовать в принятии решений, даже если они не могут убедить большинство согласиться с их главным выбором. Однако с избирательными системами, которые рассчитаны на то, чтобы принимать такие факторы во внимание, неизменно связано еще больше парадоксов и теорем о невозможности.
Одна из первых таких теорем была доказана в 1951 году экономистом Кеннетом Эрроу и стала частью исследования, удостоенного в 1972 году Нобелевской премии по экономике. Может показаться, что теорема Эрроу отрицает само существование социального выбора и бьет по принципу представительного правления, пропорциональному распределению, самой демократии и не только.
Вот что сделал Эрроу. Сначала он сформулировал пять элементарных аксиом, которым любое правило, определяющее «волю народа» – предпочтения группы, должно удовлетворять, и эти аксиомы на первый взгляд кажутся настолько резонными, что их можно было бы и не формулировать. Одна из них заключается в том, что правило должно определять предпочтения группы только через предпочтения членов этой группы. Другая – в том, что правило не должно просто обозначать взгляды одного конкретного человека как «предпочтения группы», независимо от того, чего хотят другие. Это так называемая аксиома об отсутствии диктатора. Третья аксиома гласит, что если члены группы единогласно сходятся в чем-то – в том смысле, что у них у всех по этому поводу одинаковые предпочтения, то правило должно приписать те же предпочтения и группе. Эти три аксиомы отражают в данном случае принцип представительного правления.