Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Пенроуз Роджер

После такого группирования некоторые из областей могут приобрести подавляюще огромные размеры по сравнению с другими областями. Рассмотрим, к примеру, фазовое пространство газа, заключенного в ящике. Наибольшая область фазового пространства будет приходиться на состояния, в которых частицы газа практически равномерно распределены по ящику с некоторым характерным распределением скоростей, обеспечивающим однородные давление и температуру. Это характерное распределение, в некотором смысле наиболее случайное из всех возможных, называется распределением Максвелла — по имени Джеймса Клерка Максвелла, которого мы уже упоминали ранее. В этом случае про газ говорят, что он находится в состоянии теплового равновесия. Подавляющая часть точек всего фазового пространства соответствует этому тепловому равновесию, и эти точки изображают всевозможные микроскопические значения координат и скоростей отдельных частиц, которые совместимы с состоянием теплового равновесия. Эта огромная часть является, конечно, только одной из многих областей нашего фазового пространства — но она оказывается (существенно) большей всех других областей, занимая практически все фазовое пространство! Рассмотрим теперь другое возможное состояние этого газа, скажем, такое, в котором весь

газ собран в одном из углов ящика. В этом случае мы будем опять иметь целое множество различных микроскопических состояний, каждое из которых описывает газ сосредоточенным в углу ящика. Все эти состояния макроскопически неразличимы, и изображающие их точки фазового пространства заполняют в нем свою область. Однако объем этой области оказывается намного меньшим объема области для состояний теплового равновесия — примерно в

раз (если ящик — это метровый куб, содержащий воздух при нормальных условиях, а область в углу — сантиметровый кубик)!

Чтобы оценить различия в фазовых объемах, рассмотрим упрощенную ситуацию, в которой некоторое количество шаров распределено по большому числу ячеек. Предположим, что каждая ячейка может либо быть пустой, либо содержать один шар. Шары будут моделировать молекулы газа, а ячейки — различные положения молекул в ящике. Выделим небольшое подмножество ячеек, которое будем называть особым ; оно будет соответствовать положению молекул газа в углу ящика. Для определенности условимся, что ровно 1 / 10 часть всех ячеек особая — т. е. в случае, когда имеется n особых ячеек, не особых будет ровно 9n (рис. 7.4).

Рис. 7.4.Модель газа в ящике: некоторое количество шаров распределено по значительно большему числу ячеек. Одна десятая часть ячеек отмечены как особые . Эти ячейки выделены в левом верхнем углу

Мы хотим теперь случайным образом распределить m шаров среди всех ячеек и найти вероятность того, что все шары окажутся в особых ячейках. В случае, когда имеется только один шар и десять ячеек (т. е. имеется только одна особая ячейка), эта вероятность, очевидно, равна одной десятой. Тот же результат получится в случае одного шара и любого числа 10n ячеек (т. е. в случае n особых ячеек). Таким образом, для газа, состоящего только из о дногоатома, особая область, соответствующая «газу, собранному в углу ящика», будет иметь фазовый объем, составляющий лишь одну десятуювсего объема «фазового пространства». Однако, если мы увеличим число шаров, вероятность того, что всеони соберутся в особых ячейках, существенно понизится. Скажем, для двухшаров с двадцатью ячейками (две из которых особые) ( m = 2 , n = 2 ) [170] , вероятность равна 1 / 190 ; в случае ста ячеек (среди них — десять особых) ( m = 2 , n = 10 ) вероятность равна 1 / 110 ; а при неограниченном увеличении числа ячеек с сохранением доли особых вероятность будет стремиться к 1 / 100 .

170

В общем случае n , m вероятность равна

Таким образом, в случае газа из двух атомов фазовый объем особой области составляет только одну сотуючасть всего «фазового пространства». Для трехшаров и тридцати ячеек ( m = 3 , n = 3 ), он будет составлять 1 / 4060 всего фазового объема, а в пределе бесконечного числа ячеек — 1 / 1000 — т. е. для газа из трехатомов объем особой части будет составлять одну тысячнуюобъема всего «фазового пространства». Для четырех шаров в пределе бесконечного числа ячеек вероятность становится равной 1 / 10000 . Для пяти шаров — 1 / 100 000 и т. д. Для m шаров в пределе бесконечного числа ячеек вероятность стремится к 1 / 10 ^m ; т. е. для «газа» из m атомов фазовый объем особой области составляет только 1 / 10 ^m от всего «фазового

объема». (Этот результат остается справедливым, если учесть также и импульсы.)

Мы можем применить теперь те же оценки к нашей ситуации с реальным газом в ящике, только в этом случае для особой области нам нужно вместо одной десятой взять одну миллионную ( 1 / 1000000 ) от общего объема ящика (т. е. отношение объемов одного кубического сантиметра и одного кубического метра). В результате, вместо значения 1 / 10 ^m для вероятности обнаружить все частицы газа в особой области, мы получим 1 / 1 000000 ^m , т. е. 1 / 10 ^6m . Для воздуха, взятого при нормальных условиях, в нашем ящике находилось бы около 10 ²⁵ молекул, поэтому мы принимаем m = 10 ²⁵ . Таким образом, особая область фазового пространства, представляющая состояния, в которых весь газ сосредоточен в углу ящика, составляет только

1 / 10 ^{60 000 000 000 000 000 000 000 000}

часть всего фазового пространства!

Энтропия состояния — это мера объемаVобласти фазового пространства, которая содержит все точки, представляющие данное состояние. Ввиду гигантской разницы между объемами, которую мы оценили выше, более удобным оказывается определять энтропию как величину, пропорциональную не самим объемам, а их логарифмам:

энтропия = k logV.

Использование логарифма делает все возникающие в расчетах числа более обозримыми. Так, к примеру, логарифм [171] 10000000 составляет всего-навсего число, близкое к 16 . Величина k — константа, называемая постоянной Больцмана . Ее значение приблизительно равно 10 ^{– 23} джоулей на один градус Кельвина.

171

Используемый здесь логарифм называется натуральным, т. е. берется по основанию

е = 2,7182818285 …,

а не по основанию 10 , однако это различие в нашем случае совершенно несущественно. Натуральный логарифм, x = log n , числа n — это степень, в которую мы должны возвести е , чтобы получить n , т. е. решение уравнения e ^x = n (см. ссылку 62).

Одним из важнейших следствий использования логарифма в определении энтропии является ее аддитивность в случае независимых систем. Другими словами, полная энтропия двух независимых физических систем, рассматриваемых как одна система, равна суммеих энтропий. (Это и есть основное свойство логарифмической функции: logАВ= logА+ logВ. Если эти подсистемы находятся в состояниях, изображающихся областями с объемами Аи Вв соответствующих им фазовых пространствах, то объем фазового пространства для составной системы будет равен произведению их объемов АВ, поскольку каждое микроскопическое состояние одной системы должно быть независимо учтено вместе с каждым микроскопическим состоянием другой; и, следовательно, энтропия составной системы, очевидно, будет равна именно сумме энтропий отдельных систем.)

Те гигантские отличия между размерами различных частей фазового пространства, о которых говорилось выше, в терминах энтропии будут выглядеть более скромно. Энтропия нашего кубического метра газа, как следует из предыдущих рассмотрений, оказывается всего на 1400 Дж/ К(= 14k х 10 ²⁵ ) больше энтропии того же газа, сосредоточенного в кубическом сантиметре «особой» области (так как

составляет примерно 14 х 10 ²⁵ ).

Для того, чтобы определить реальные значения энтропии для указанных областей фазового пространства, нам осталось бы только немного позаботиться о выборе системы единиц (метры, джоули, килограммы, градусы Кельвина и т. д.). Однако, на самом деле, здесь было бы совсем неуместным заботиться об этом: для тех чудовищно огромных значений энтропии, которые я буду рассматривать в дальнейшем, выбор системы единиц не играет особой роли. Все же для определенности (и для специалистов), я скажу, что буду пользоваться так называемой естественной системой единиц, которая следует из законов квантовой механики и в которой постоянная Больцмана оказывается равной единице :