Опционы. Полный курс для профессионалов, Вайн Саймон

Опционы. Полный курс для профессионалов

на обложку

Вайн Саймон

Шрифт:

При условии безарбитражности рынка на текущий момент времени европейский опцион с одним и тем же страйком на обе акции стоит одинаково, и его цена может быть вычислена по формуле Блэка – Шолца для акции без дивидендов после подстановки в нее S1 x e–qT вместо S.

Итак, C1 – цена опциона колл на акцию с дивидендами имеет следующий вид:

Величины d1

и d2 находятся из следующих равенств:

4. Цена опциона пут. Формула паритета пут/колл

Пока мы рассматривали только опцион колл. Теперь перейдем к рассмотрению опциона пут. Владелец опциона пут имеет право в определенный момент времени продать актив по заранее оговоренной цене. Как и в случае опциона колл, владелец может не исполнять опцион, если его исполнение для него невыгодно.

При расчете премии, выплачиваемой по опциону пут на акцию без дивидендов, можно использовать формулу паритета пут/Колл (put/call parity). Эта формула описывает зависимость между величинами премии по опционам пут и Колл на один и тот же базовый актив, имеющим одинаковый страйк K и время до исполнения Т.

Для вывода зависимости рассмотрим два портфеля.

Первый состоит из одного опциона колл и K x e–rT долларов, которые мы вкладываем под процент r на время T.

Второй состоит из одного опциона пут и одной акции.

Рассмотрим стоимость портфелей в момент исполнения опционов при разных значениях цены на акцию в тот момент времени S.

Первый портфель:

S(T) > K.

В этом случае после исполнения опциона мы получим прибыль S(T) – K, а вложенные в начале периода K x e – rT долларов вырастут до K долларов. Следовательно, стоимость портфеля равна

S(T) – K + K = S(T),

S(T) < K.

В этом случае исполнение опциона невыгодно. Следовательно, стоимость портфеля равна стоимости денег, т. е. K.

S(T) = K.

В этом случае при исполнении и при неисполнении опциона мы получаем одинаковую сумму: S(T) = K.

Второй портфель:

S(T) > K.

В этом случае продажа акции по цене K невыгодна, так как текущая цена выше. Стоимость портфеля равна стоимости одной акции, т. е. S.

S(T) < K.

В этом случае мы исполняем опцион и продаем акцию по цене K, которая выше текущего курса. Стоимость портфеля равна K.

S(T) = K.

В этом случае при исполнении и

при неисполнении опциона мы получаем одинаковую сумму: S(T) = K.

Нетрудно заметить, что в момент исполнения опционов оба портфеля имеют одинаковую стоимость при любом значении цены акции. Условие безарбитражности рынка позволяет сделать вывод, что и в данный момент оба портфеля должны стоить одинаково, т. е.

C + K x e–rT = P + S.

Здесь

S – текущая цена акции;

K – цена исполнения опционов;

C – стоимость опциона колл;

P – стоимость опциона пут.

Полученное равенство называется формулой паритета колл/пут.

Исходя из нее, получаем, что цена опциона пут на акцию без дивидендов равна:

P = K x e–rT x N(–d2) – S x N(–d1),

где d1 и d2 такие же, как в формуле для цены опциона колл на акцию без дивидендов.

Если на акцию начисляются дивиденды по ставке q, то цена опциона пут равна:

P1 = K x e–rT x N(–d2) – S x e – q T x N(–d1),

где d1 и d2 такие же, как в формуле для цены опциона колл на акцию с непрерывно начисляемыми дивидендами.

Вопросы

1) Рассматривается акция, по которой непрерывно начисляется дивиденд по ставке q = 5 %. Текущая цена акции $50, волатильность 60 %, непрерывно начисляется безрисковая ставка 7 %. Найдите вероятность исполнения трехмесячного европейского опциона колл на эту акцию в случаях, когда цена исполнения составляет $40 и $60.

2) Инвестор приобрел 5 полугодовых европейских опционов колл на акцию, по которой не выплачиваются дивиденды. Определите средние затраты инвестора по исполнению опциона колл, если известны следующие данные:

• цена акции в настоящий момент $50;

• цена исполнения опционов $60;

• волатильность акции и безрисковая ставка на следующие полгода равны 70 % и 8 % соответственно.

3) Рассмотрим трехмесячный опцион колл на акции без дивидендов. Текущая цена акции $50, цена страйк $49, безрисковая ставка – 5 %. Сколько стоит трехмесячный опцион пут на эту акцию с таким же значением страйк, если опцион колл стоит $5?