Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Дербишир Джон

V.

Ho как я получил все эти значения (s)для s, меньших 1? Мы уже видели, что бесконечный ряд из выражения (9.1) для этого непригоден. А что пригодно? Если бы ради спасения своей жизни мне пришлось вычислить значение (-7,5), как бы я к этому подступился?

Я не могу объяснить этого в полной мере, потому что такое объяснение требует слишком значительного погружения в математический анализ. Но я попробую передать общую идею. Сначала определим некоторую новую функцию, используя бесконечный ряд, слегка отличный от ряда в выражении (9.1) . Это – функция; (читается «эта») — седьмая буква греческого алфавита. Определим – функцию как

Грубая

прикидка подсказывает, что у этой функции перспективы сходимости лучше, чем у выражения (9.1) . Вместо непрестанного прибавления чисел здесь мы по очереди то прибавляем, то вычитаем, так что каждое следующее число до некоторой степени сокращает вклад предыдущего. Так оно и выходит. Математики в состоянии доказать — хотя здесь мы этим заниматься не будем, — что этот новый бесконечный ряд сходится всегда, когда sбольше нуля. Это существенное улучшение по сравнению с выражением (9.1) , которое сходится, только когда sбольше единицы.

Но какая нам от всего этого польза в отношении дзета-функции? Для начала заметим, что в силу элементарных алгебраических правил A - B + C - D + E - F + G - H + …равно (A + B + C + D + E + F + G + H + …)минус 2x (B + D + F + H + …). Поэтому функцию (s)можно переписать как

минус

Первая скобка — это, конечно, (s). Вторую скобку легко упростить, пользуясь 7-м правилом действий со степенями: (ab) ⁿ = a ⁿb ⁿ. Таким же образом каждое из этих четных чисел можно разбить в произведение вида

, после чего можно вынести

в качестве множителя перед всей скобкой. А что останется в скобке? Там останется (s)! Коротко говоря,

или, переписав это «наоборот» и слегка причесав, получаем

Вот. Это означает, что если нам удастся узнать какое-то значение (s), то мы немедленно будем знать и значение (s). А поскольку можно узнать значения (s)между 0 и 1, можно получить и значение (s)в этом промежутке, несмотря на то что «официальный» ряд для (s)там не сходится.

Пусть, например, sравно ¹/ ₂. Если сложить 100 членов ряда для ( ¹/ ₂), то получится 0,555023639…; если сложить 10 000 членов, получится 0,599898768…. В действительности значение ( ¹/ ₂) составляет 0,604898643421630370…. (Существуют определенные приемы позволяющие вычислять такое без необходимости сложения мириад членов.) Вооруженные всем этим, мы можем вычислить значение ( ¹/ ₂) оно оказывается равным -1,460354508…, что выглядит очень правдоподобно, если судить по первому графику из приведенного выше набора.

Но задержимся на мгновение. Не устроили ли мы тут игру в наперстки с двумя бесконечными рядами, один из которых сходится при аргументе s= ¹/ ₂, а другой — нет? Ну, строго говоря, мы действуем не совсем по правилам, и я обошелся довольно безответственно с той математикой, на которой здесь все основано. Однако же я получил правильный ответ, причем этот фокус можно повторить для любого числа между нулем и единицей (не включая ее) и получить правильное значение для (s).

VI.

За исключением одного только s = 1, где (s)не имеет значения, мы можем теперь предъявить значение дзета-функции для любого числа s, большего нуля. А как насчет аргументов равных нулю или меньших нуля? Вот здесь все по-настоящему

круто. Один из результатов в работе Римана 1859 года состоит в доказательстве формулы, впервые предложенной Эйлером в 1749 году, которая выражает (1 – s)через (s). Таким образом, если мы желаем узнать, например, значение (-15), то надо просто вычислить значение (16) и подставить его в эту формулу. Это, правда, неслабая формула, и я привожу ее главным образом для полноты картин: [75]

75

«Неслабая формула» на самом деле не столь уж и страшна. Если, конечно, вы не забыли математику из старших классов. За исключением дзета-функции, там нет ничего такого, чего бы не проходили, по крайней мере частично, в школе. Синус и факториал — это, как говорят математики, «элементарные» функции, так что выписанная формула «элементарно» связывает значение дзета-функции при аргументе 1 - sсо значением при аргументе s. Такая формула, кстати сказать, называется «функциональным уравнением».

Всюду здесь — это магическое число 3,14159265…, sin — добрая старая тригонометрическая функция синус (от аргумента, выраженного в радианах), а знак «!» обозначает факториальную функцию, упоминавшуюся уже в главе 8.iii. В математике, изучаемой в старших классах, вы встречались только с факториальной функцией, аргументами которой являются положительные целые числа: 2! = 1x2, 3! = 1x2x3, 4! = 1x2x3x4 и т.д. В высшей математике, однако, есть способ определить факториальную функцию для всех чисел, кроме отрицательных целых, для чего применяется прием расширения области определения вполне в духе того, которым мы только что пользовались. Например, ( ¹/ ₂)! оказывается равным 0,8862269254… (на самом деле — половине квадратного корня из ), (- ¹/ ₄)! = 1,2254167024… и т.д. Отрицательные целые создают проблемы в этой формуле, но это не критические проблемы, и я ничего о них говорить не буду. На рисунке 9.11 изображена полная факториальная функция для аргументов от -4 до 4.

Рисунок 9.11.Полная факториальная функция x!.

Если вам кажется, что все это немного чересчур, то просто примите на веру, что имеется способ получить значение функции (s)для любого числа sза единственным исключением s = 1. Даже если ваш взгляд никак не сфокусируется на приведенной выше формуле, то заметьте по крайней мере вот что: она выражает (1 – s)через (s); если вы знаете, как посчитать (16), то вы можете тогда вычислить (-15); если вам известна (4), то вы можете вычислить (-3); если вам известна (1,2), то вы можете выделить (-0,2); если вам известна (0,6), то вы можете вычислить (0,4); если вам известна (0,50001), то вы можете вычислить (0,49999), и т.д. Вопрос, к которому я подбираюсь, — это что аргумент «одна вторая» имеет особый статус в приведенном соотношении между (1 – s)и (s), потому что если s = ¹/ ₂, то 1 - s = s. Очевидно — я хочу сказать, очевидно из рисунка 5.4 и рисунков с 9.3 по 9.10, — что дзета-функция не симметрична относительно аргумента ¹/ ₂. И тем не менее ее значения при аргументах слева от ¹/ ₂связаны с их зеркальными образами справа весьма тесным, хотя и не самым простым образом.

Снова посмотрев на набор графиков, можно заметить кое-что еще: (s)равна нулю всегда, когда s— отрицательное четное число. А если при каком-то аргументе значение функции равно нулю, то этот аргумент называется нулем данной функции. Итак, верно следующее:

– 2, – 4, – 6 и все остальные отрицательные четные целые числа являются нулями дзета-функции.

А взглянув на утверждение Гипотезы Римана, мы увидим, что в ней говорится про «все нетривиальные нули дзета-функции». Неужели мы у цели? Увы, нет: отрицательные четные числа и в самом деле нули дзета-функции, но все они до единого — тривиальные нули. Чтобы добраться до нетривиальных нулей, нам надо нырнуть поглубже.