Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Дербишир Джон

Во время осенних каникул 1852 года Лежен Дирихле ненадолго останавливался в Геттингене. Риман, только что вернувшийся из Квикборна, имел счастливую возможность видеться с ним практически ежедневно. И в первый день, когда он приходил к Дирихле, и на следующий день <…> Риман спрашивал у Дирихле, который считался величайшим из живущих тогда математиков после Гаусса, советов касательно своей работы. Риман так писал своему отцу об их встрече: «Давеча утром Дирихле провел со мной около двух часов. Он дал мне несколько советов относительно моей диссертации на право чтения лекций; замечания его настолько обстоятельны, что моя работа существенно облегчилась. Иначе мне пришлось бы проводить много времени в библиотеке, выискивая кое-какие из этих вещей. Мы вместе с ним просмотрели мою диссертацию, и он был в целом очень ко мне расположен, чего я не вполне ожидал, учитывая огромную разницу в нашем положении.

Надеюсь, что он не забудет обо мне в будущем». Несколько дней спустя <…> большая группа сотрудников отправилась на совместную экскурсию — путешествие очень ценное в том отношении, что по прошествии некоторого времени, проведенного в компании, сдержанность Римана заметно уменьшилась. На следующий день Дирихле и Риман снова встретились в доме Вебера. Импульс, который Риман вынес из этого общения, принес ему массу пользы. И тем не менее отцу об этом он пишет так: «Как видишь, я тут оказался не вполне домоседом; однако же на следующее утро я работал еще напряженнее и сделал так много, как если бы я просидел над своими книгами целый день».

Последнее замечание показывает, сколь высокие требования Риман предъявлял к себе, а также говорит о его сильнейшем чувстве долга и твердой решимости оправдать каждую минуту времени, проводимого в Геттингене, в своих глазах, в глазах отца (который, как-никак, обеспечивал его существование) и в глазах Бога.

Процедура получения второй ученой степени состояла в том, что Риману надо было сначала представить написанную диссертацию, а затем подготовить пробную лекцию, которую следовало прочитать перед всем профессорским составом. Сама по себе диссертация — она называлась «О представимости функции тригонометрическим рядом» — является краеугольной работой, в которой миру был представлен интеграл Римана, изучаемый теперь как фундаментальное понятие в институтских курсах дифференциального и интегрального исчисления. И однако, лекция Римана намного превзошла текст диссертации.

Предполагалось, что Риман подготовит для лекции три темы, из которых Гаусс, как его руководитель, выберет одну, на которую лекция и будет прочитана. Три предложения Римана касались двух вопросов по математической физике и одного по геометрии. Гаусс выбрал лекцию, озаглавленную «О гипотезах, лежащих в основами геометрии», и Риман прочитал ее собравшимся профессорам 10 июня 1854 года.

Это одна из десяти лучших математических работ, представленных вообще когда бы то ни было, поистине сенсационное достижение. Ее прочтение, как утверждает Ханс Фрейденталь в «Словаре научных биографий», было «одним из озарений в истории математики». Идеи, содержащиеся там, были настолько передовыми что прошло несколько десятилетий до их полного принятия и 60 лет до того момента, как они нашли свое приложение в физике, в качестве математического аппарата общей теории относительности Эйнштейна. Джеймс Р. Ньюмэн в книге «Мир математики» отзывается об этой работе как об «эпохальной» и «непреходящей» (забыв, правда, включить ее в свою обширную антологию классических математических текстов). При этом потрясает еще и то, что работа практически не содержит математических обозначений. Пролистывая ее, я обнаружил пять знаков равенства, три знака квадратного корня и четыре знака , что в среднем составляет менее одного символа на страницу! Имеется всего одна настоящая формула. Все это было написано с целью быть понятым — или, возможно (см. ниже), непонятым обыкновенным профессором в провинциальном университете средней руки.

Отправной точкой для Римана стал ряд идей, высказанных Гауссом в статье 1827 года, озаглавленной «Общее исследование искривленных поверхностей». В предшествовавшие тому несколько лет Гаусса привлекали к работе по подробной топографической съемке Баварского королевства (в ходе этой работы, между прочим, он изобрел гелиотроп — устройство для наблюдений на больших расстояниях за счет отражения вспышек солнечного света от системы зеркал). Колоссальный ум Гаусса вычленил из материала, с которым он работал, некоторые соображения о свойствах двумерных поверхностей и о том, как эти свойства можно было бы описать математически. Статья Гаусса широко рассматривается в качестве работы, положившей начало новой дисциплине — дифференциальной геометрии.

Риман в своей лекции развил эти идеи и обобщил их на пространства любого числа измерений. Что еще более важно, он привнес совершенно новый взгляд на весь предмет. Гаусс воспринимал его в терминах искривленных двумерных листов, вложенных в обычное трехмерное пространство, из которого их можно разглядывать, — что было естественным обобщением его опыта работы в качестве топографа. Риман переместил точку зрения таким образом, что она стала внутреннейпо отношению к рассматриваемому пространству.

Я полагаю, вы знакомы с идеей, содержащейся

в общей теории относительности Эйнштейна, о том, что с тремя пространственными измерениями и одним временным можно математически обращаться как с четырехмерным пространством-временем и что этот четырехмерный континуум изогнут и искорежен за счет присутствия массы и энергии. С точки зрения Гаусса геометрию этого пространства-времени надо было бы развивать, представляя себе, что оно вложено в пятимерный континуум, подобно тому как Гаусс рассматривал двумерные поверхности вложенными в обычное трехмерное пространство. Тем, что современные физики так не думают, мы обязаны Риману. На самом деле, если вы отправитесь в ближайший университет и запишетесь там на курс по общей теории относительности, то названия тем, которые вы будете проходить (по порядку), могут оказаться такими:

• метрический тензор;

• тензор Римана;

• тензор Риччи;

• тензор Эйнштейна;

• тензор энергии-импульса;

• уравнение Эйнштейна G = 8 T.

Охватив это, вы овладеете основами общей теории относительности.

Хотя цель данной книги состоит в описании открытий Римана в арифметике и великой Гипотезы, которая берет в них свое начало, нельзя сказать, что эти геометрические исследования не имеют никакого отношения к делу. Общий склад ума Римана, а также все его лучшие математические работы родились из напряжений, возникавших между соображениями двух противоположных свойств. С одной стороны, он был великим глобалистом, всегда склонным воспринимать вещи в полном объеме. Для Римана функция не представляет собой просто множество точек; еще менее она передается каким бы то ни было изобразительным способом типа графика или таблицы и еще менее — набором выражений, содержащих алгебраические формулы. (В одном из немногих засвидетельствованных отрицательных отзывов о ком бы то ни было Риман отмечает, что берлинский математик Готхольд Эйзенштейн «остановился на уровне формального вычисления».) Но что же тогда такое функция? Это объект, который без нарушения правил нельзя лишить ни одного из его атрибутов. Риман воспринимал функцию способом, каким, говорят, шахматные гроссмейстеры воспринимают шахматную партию — всю целиком, как единое целое, Gestalt.

Однако в напряженных отношениях с этой тенденцией была противоположная ей, причем также ясно прослеживающаяся в работах Римана тенденция сводить всякий математический предмет к анализу. «Риман <…> всегда мыслил в аналитических терминах», — говорит Лаугвитц. Писатель имеет в виду анализ в его бесконечно-малом аспекте: пределы, непрерывность, гладкость; локальныесвойства чисел, функций и пространств. Если задуматься об этом, то должно показаться довольно странным, что исследование бесконечно малых окрестностей точек и чисел может снабдить нас знанием о глобальных свойствах функций и пространств. Это становится особенно явным в общей теории относительности, где начинают с изучения микроскопических областей пространства-времени, а приходят к осознанию формы Вселенной и рассмотрению предсмертной агонии галактик. Тем, что нам удается рассуждать столь необычным способом и в чистой, и в прикладной математике, мы обязаны главным образом математикам начала XIX века, и более всего — Бернхарду Риману.

Великая лекция Римана была в действительности документом философским в той же мере, что и математическим. В этом смысле много раз отмечавшаяся туманность многих ее мест могла быть сознательным выбором Римана. (Впрочем, см. замечание Фрейденталя ниже.) То, о чем он говорил, касалось природы пространства на самом фундаментальном уровне. А для среднего, довольного собой стареющего профессора того времени — вроде тех людей, что заседали в числе геттингенских слушателей лекции Римана в тот июньский день, — природа пространства была делом решенным. Она была открыта за 70 лет до этого Иммануилом Кантом в его «Критике чистого разума». Пространство представляет собой предсуществующую часть нашего рассудка, посредством которого мы организуем чувственные восприятия, и оно с необходимостью эвклидово, другими словами, плоское — такое, в котором прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками, а сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Неэвклидова геометрия, описанная Лобачевским в 1830-х годах, с этой точки зрения воспринималась как философская ересь. Работа Римана была куда большей ересью; в этом могла состоять причина, по которой он представил свои мысли на уровне столь большой общности, что их связь с неэвклидовой геометрией должна была ускользнуть от всех, кроме наиболее математически подкованных людей в сидевшей перед ним аудитории. (Но, конечно, не от Гаусса. Гаусс на самом деле еще ранее сам изобрел неэвклидову геометрию, но не опубликовал своих результатов из опасений, как он писал, «что болваны поднимут шум и гам». В XIX столетии немцы относились к своей философии весьма серьезно.)