Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
Шрифт:
Рисунок 9.1.Функция S(x) =1 + x+ x 2+ x 3+ ….
Но смотрите, нашу сумму
S(x) =1 + x+ x 2+ x 3+ x 4+ x 5+ …можно переписать в таком виде:
S(x)= 1 + x(1 + x+ x 2+ x 3+ x 4+ …).Ряд
Другими словами, S(x)= 1 + xS(x). Перенося самый правый член в левую часть, получаем равенство S(x) - xS(x) =1, или, другими словами, (1 - x) S(x) =1. Следовательно, S(x) =1/(1 - x). Возможно ли, чтобы за нашей бесконечной суммой скрывалась столь простая функция, как 1/(1 - x)? Может ли равенство
1/(1 - x) = 1 + x+ x 2+ x 3+ x 4+ x 5+ x 6+ … (9.2)оказаться верным?
Без сомнения, может. Если, например, x= 1/ 2, то 1/(1 - x) равняется 1/(1 - 1/ 2), что есть 2. Если x= 0, то 1/(1 - x) равно 1/(1 - 0), что есть 1. Если x= - 1/ 2, то 1/(1 - x) равняется 1/(1 - (- 1/ 2)), т.е. 1:1 1/ 2что есть 2/ 3. Если x= 1/ 3, то 1/(1 - x) равняется 1/(1 - 1/ 3) т.е. 1: 2/ 3, что есть 1 1/ 2. Если x= - 1/ 3, то 1/(1 - x) равняется 1/(1 - (- 1/ 3)), т.е. 1:1 1/ 3, что есть 3/ 4. Все сходится. Для аргументов - 1/ 2, - 1/ 3, 0, 1/ 3, 1/ 2, при которых мы знаем значения функции, значения бесконечного ряда S(x)такие же, как и значения функции 1/(1 - x). Похоже, что этот ряд и эта функция — одно и то же.
Рисунок 9.2.Функция 1/(1 - x).
Но они не одно и то же, поскольку у них различные области определения, как это видно из рисунков 9.1 и 9.2 . S(x)имеет значения только между -1 и 1, не включая границы; функция же 1/(1 - x) имеет значения везде, за исключением точки x = 1. Если x = 2, то ее значение равно 1/(1 - 2), то есть -1. Если x = 10, то значение равно 1/(1 - 10), то есть - 1/ 9. Если x = -2, то значение равно 1/(1 - (-2)), то есть 1/ 3. Можно нарисовать график функции 1/(1 - x). Как видно, он совпадает с предыдущим графиком в промежутке между -1 и 1, но имеет еще и значения к западу от -1 (включая саму -1) и к востоку от 1.
Мораль здесь в том, что бесконечный ряд может определять только часть функции; или, используя подобающие математические термины, бесконечный ряд может определять функцию только на части ее области определения. Остальная часть функции может где-то прятаться, ожидая, пока ее не вытащат на свет с помощью фокуса типа того, что мы применили к S(x).
Это
оказаться больше, чем просто «все числа, большие 1»?
Конечно может. Иначе зачем бы мы тут стали влезать во все эти подробности? Да, дзета-функция имеет значения при аргументах, меньших 1. На самом деле, как и функция 1/(1 - x), она имеет значения при всехчислах за единственным исключением x= 1.
Сейчас подходящий момент, чтобы привести график дзета-функции, который продемонстрировал бы все ее свойства в широком интервале значений. К сожалению, это невозможно. Как уже упоминалось, кроме как для простейших функций, обычно нет хорошего и надежного способа показать функцию во всем ее великолепии. Близкое знакомство с функцией требует времени, терпения и тщательного изучения. Можно, однако, изобразить дзета-функцию по кускам. На рисунках с 9.3 по 9.10 показаны значения (s)для некоторых аргументов, находящихся слева от s = 1, хотя для этого потребовалось выбрать свой собственный масштаб на каждом графике. Понять, где мы находимся, можно, руководствуясь подписанными аргументами (на горизонтальной оси) и значениями (на вертикальной оси). При обозначении масштаба m указывает на миллион, tr на триллион, mtr обозначает миллион триллионов, a btr — миллиард триллионов.
Коротко говоря, когда sлишь немного меньше единицы (рисунок 9.3 ), значения функции очень большие по величине и отрицательные — как если бы при движении на запад при пересечении линии s = 1 значения внезапно переметнулись из бесконечности в минус бесконечность. Если продолжить путешествие по рисунку 9.3 — т.е. устремлять sближе и ближе к нулю, — то подъем вверх радикально замедляется. Когда sравно нулю, (s)равна - 1/ 2. При s = -2 кривая пересекает ось s, т.е. (s)равна нулю.
Рисунок 9.3.
Затем (мы по-прежнему двигаемся на запад, добравшись теперь до рисунка 9.4) график взбирается на относительно скромную высоту (в действительности до 0,009159890…), а после этого поворачивает вниз и снова пересекает ось при s = -4. График попадает в неглубокую впадину (-0,003986441…), а после нее снова взбирается вверх и пересекает ось при s = -6. Еще один невысокий пик (0,004194…), спуск до пересечения с осью при s = -8 и далее в несколько более глубокую впадину (-0,007850880…), затем пересечение с осью в точке -10, после чего уже довольно заметный пик (0,022730748…), пересечение с осью при s = -12, впадина поглубже (-0,093717308…), пересечение с осью при s = -14 и т.д.
Рисунок 9.4.
Дзета-функция равна нулю при каждом отрицательном четном числе, а по мере продвижения на восток (рисунки от 9.5 до 9.10) последовательные пики и впадины быстро делаются все более и более значительными. Последняя показанная впадина расположена при s = -49.587622654 …, а глубина ее составляет около 305 507 128 402 512 980 000 000. Сами видите, как нелегко изобразить дзета-функцию на одном графике.
Рисунок 9.5.
Рисунок 9.6.
Рисунок 9.7.
Рисунок 9.8.
Рисунок 9.9.
Рисунок 9.10.