Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
Шрифт:
Вот мы и пришли к тому вопросу, с которого, как и Бернхард Риман, мы начали: сколько имеется простых чисел, меньших заданного числа?
А что мы можем выяснить, действуя «от готового»? Я на самом деле знаю ответы на последний вопрос для довольно внушительных чисел. Некоторые из них показаны в таблице 3.1.
| N | Сколько простых, меньших, чем N? |
|---|---|
| 1 000 | 168 |
| 1 000 000 | 78 498 |
| 1 000 000 000 | 50 847 534 |
| 1 000 000 000 000 | 37 607 912 018 |
| 1 000 000 000 000 000 | 29 844 570 422 669 |
| 1 000 000 000 000 000 000 | 24 739 954 287 740 860 |
Таблица 3.1.
Здорово,
Сейчас я покажу фокус, который прольет немного света на эту туманную картину. Но сначала два слова о функциях.
Двухколоночная табличка вроде таблицы 3.1 иллюстрирует понятие функции. «Функция» — одна из важнейших концепций во всей математике, вторая или третья по значимости, на мой взгляд, после «числа» и, возможно, «множества». Основная идея функции состоит в том, что некоторое число (из правой колонки) зависит от другого числа (из левой колонки) в соответствии снекоторым заданным законом или процедурой. Конкретно для таблицы 3.1 процедура такова: «Посчитать, сколько имеется простых чисел в пределах, определяемых числом в левой колонке».
Другой способ сказать то же самое таков: функция — это способ превратить (математики говорят «отобразить») число в другое число. Функция в таблице 3.1 согласно выбранной процедуре превращает, или отображает, число 1000 в число 168.
Профессиональные термины здесь таковы. Поскольку слишком утомительно постоянно произносить слова «число в левой колонке» и «число в правой колонке», математики говорят о них соответственно как об «аргументе» и «значении» (или «значении функции»). Итак, суть дела во всякой функции — это получить значение по заданному аргументу, следуя некоторому правилу или процедуре.
И еще один ключевой профессиональный термин. Бывает, что правило, на котором основано определение функции, можно применить к одним числам или к одному типу чисел, но не к другим или другому. Скажем, правило «вычесть из аргумента единицу и взять обратное число» определяет весьма уважаемую функцию — математик сказал бы, что это функция 1/(1 - x), и мы довольно плотно с ней познакомимся в главе 9.iii, — но это правило нельзя применить к аргументу 1, поскольку такая попытка повлекла бы за собой деление на нуль, чего в математике не разрешается. (Нет никакого толка спрашивать: «А что если я попробую?» Нельзя, и все. Это против правил. Если вы попытаетесь, то игра остановится и все вернется в последнюю разрешенную позицию.)
В качестве другого примера рассмотрим функцию, действующую по правилу «посчитать, сколько делителей имеет аргумент». Мы видим, что число 28 имеет шесть делителей (будем сейчас включать и тривиальные делители тоже), а 29 — только два. Значит, данная функция
Относящийся сюда профессиональный термин — это «область определения». Область определения какой-нибудь функции — это те числа, которые она допускает в качестве аргумента. Функция 1/(1 - x)допускает в качестве аргумента все числа, кроме 1. Функция d(N)допускает в качестве аргумента любое положительное целое число; это и есть ее область определения. Область определения функции x— все неотрицательные числа, поскольку из отрицательных извлекать квадратный корень нельзя (впрочем, по этому поводу я оставляю за собой право передумать далее по тексту).
Некоторые функции допускают всечисла в свою область определения. Функция возведения в квадрат x 2, например, применима к любому числу. Любое число можно возвести в квадрат (т.е. умножить само на себя). То же верно и для полиномиальныхфункций (другими словами, многочленов) — т.е. функций, значения которых получаются сложением и вычитанием степеней аргумента. Примером полиномиальной функции может служить 3 x 5+ 11 x 3 – 35 x 2 – 7 x+ 4. Область определения полиномиальной функции — все числа. Это обстоятельство сыграет свою роль в главе 21.iii. Но наиболее интересные функции имеют определенные ограничения на свою область определения: или возникают какие-то значения аргумента, при которых правило не действует (обычно из-за того, что пришлось бы делить на нуль), или же правило вообще применимо только к определенному классу чисел.
Важно понимать, что табличка, подобная таблице 3.1 , — это только модельфункции. Сколько имеется простых чисел, меньших числа 31 556 926? Можно было бы ответить, внедряя в табличку дополнительные строки, но с учетом моего намерения удержать число страниц этой книги в некоторых разумных пределах имеется, очевидно, ограничение на то, сколько строк я могу вставить. Приведенная таблица — не более чем модель функции, ее «моментальный снимок», сделанный при определенных аргументах (выбранных с некоторым дальним прицелом).
На самом деле обычно не существует хорошего способа показать функцию во всей ее красе. Иллюстрировать какие-то конкретные свойства функции иногда помогает график, но в данном случае он достаточно бесполезен. Если вы попытаетесь изобразить содержимое таблицы 3.1 в виде графика, вы быстро поймете, что я имею в виду. Усилия по построению графика дзета-функции, которые будут предприняты в главе 9.iv, прояснят этот момент. Математики обычно получают некоторое общее представление о конкретной функции, тесно работая с ней в течение достаточно длительного времени, наблюдая при этом за всеми ее свойствами и особенностями. С помощью таблицы или графика не часто удается охватить функцию целиком.