Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной
Шрифт:
Помимо плотности энергии жидкость характеризуется давлением, которое показывает, как сильно она давит на стенки контейнера. (Конечно же, в реальности нет никаких контейнеров, поэтому мы думаем о воздействии на гипотетические стенки.) Жидкость может каким-то образом перемещаться (представьте себе поток воздуха или воды), а значит, в общем случае из каждой точки жидкости исходит вектор скорости. Наконец, если жидкость как-то искривлена либо деформирована относительно состояния равновесия, в ней появляются напряжения. Как и плотность энергии, все эти величины в общем случае зависят от рассматриваемой точки пространства-времени.
В теории относительности все эти понятия объединены в тензор энергии-импульса (также
Как можно догадаться, в привычных нам величинах формула Tµ? будет ужасно сложной. Но мы можем хотя бы представить, на что она похожа, если рассмотрим простой случай с идеальной жидкостью, которая в неподвижной системе отсчета равномерно распределена во всех направлениях. В этом случае тензор энергии-импульса будет зависеть только от плотности энергии ? и давления p. В плоском пространстве-времени и неподвижной системе отсчета тензор энергии-импульса идеальной жидкости имеет вид:
(8.12)
Будь жидкость неидеальной, а система отсчета подвижной, мы бы намучились с этим тензором. Из-за напряжений ненулевые внедиагональные элементы перестали бы быть нулевыми, да и диагональ усложнилась бы, так как давление в разные стороны может быть разным. Но мы и без этого хорошо напрягаем себе мозги. Поэтому остановимся на простой и понятной формуле (8.12), в которой плотность энергии значится в левом верхнем углу, а давление (одинаковое во всех направлениях) — на диагонали. Как ?, так и p могут зависеть от xµ, так что у нас достаточно данных. А с помощью идеальной жидкости можно описать планеты, звезды и даже темную материю, заполняющую пространство.
Уравнение Эйнштейна
Чтобы обобщить гравитацию Ньютона с точки зрения теории относительности, нам нужно придумать уравнение, которое свяжет метрику пространства-времени с тензором энергии-импульса. Мы должны сделать новый шаг в деле унификации, о которой мы говорили, связывая энергию частицы с ее импульсом. В общей теории относительности гравитация создается не только массой, но и различными формами энергии, давлением, напряжением и другими величинами.
Так как же нам быть? И gµ?, и Tµ? — тензоры с двумя нижними индексами, да еще и симметричные (gµ? = g?µ и Tµ? = T?µ). Поэтому в качестве первой догадки представим себе, что они пропорциональны друг другу:
gµ? = ?Tµ?. (8.13)
Здесь ? — некий коэффициент пропорциональности. В любых выражениях с тензорами с обеих сторон должны быть одинаковые свободные индексы, иначе мы не сможем говорить о равенстве.
На самом деле эта идея довольно глупая. Но мы хотим посмотреть на то, как работает физик-теоретик. В его голове постоянно крутятся мысли: глупые тоже приходят, но не задерживаются надолго. Мы можем сразу сказать, что наше предположение не может быть верным, поскольку в пустом пространстве Tµ? = 0 (так сокращенно записываются тензоры, все элементы которых равны 0), но метрика gµ?
Давайте подумаем. Выражение (8.13) законно с математической точки зрения, так как оно уравнивает два симметричных двухиндексных тензора. Однако оно не имеет физического смысла, ведь из него следует, что тензор энергии-импульса каким-то образом создает метрику, то есть пространство-время, а мы хотим, чтобы он его искривлял. В отсутствие источников гравитации (Tµ? = 0) пространство-время может быть плоским, но стоит в нем появиться планете или звезде, оно должно искривиться [25] .
25
При отсутствии источников гравитации пространство-время не обязано быть плоским: например, его могут искривлять гравитационные волны. Но если пространство-время плоское, в нем точно нет никаких источников гравитации.
Когда производная функции отлична от нуля, ее график искривляется. Следовательно, тензор энергии-импульса должен влиять не на саму метрику, а на ее производные. В главе 4 мы обсуждали гравитационные поля, которые Лаплас использовал для осмысления механики Ньютона. В этом контексте сила тяготения зависит не от потенциала поля, но от его производной. Поэтому в новом, релятивистском контексте следует считать метрический тензор грубым аналогом гравитационного потенциала: силы должны определяться не самим тензором, а его производными.
Таким образом, мы ищем величину, которая представляет собой симметричный тензор с двумя нижними индексами (так что мы можем считать его пропорциональным Tµ?), который мы можем вывести из метрики и ее производных.
(8.14)
Но у нас уже есть почти то, что нам нужно: тензор кривизны Римана, который строится на основе производных метрики. Проблема в том, что у него слишком много индексов (которые теперь мы обозначаем греческими буквами, так как исследуем пространство-время). Но есть и другой тензор — тензор Риччи, который можно получить, суммируя тензор Римана по первому и третьему индексам. Тензор Риччи получил название в честь итальянского математика Грегорио Риччи-Курбастро, который заложил основы тензорного исчисления, а также создал большую часть математического аппарата современной геометрии Римана. В 1900 году Риччи вместе со своим бывшим учеником Туллио Леви-Чевитой написал очень важную статью, из которой Эйнштейн почерпнул много знаний о тензорах. По неизвестной причине под этой статьей он поставил имя Дж. Риччи (без Курбастро), и это странно, поскольку все остальные статьи он подписывал полным именем. Может быть, Риччи подозревал, что этот тензор заслуживает краткого и запоминающегося названия.
Если использовать правило Эйнштейна, тензор Риччи можно записать так:
Rµ? = R?µ?? = R0µ0? = R1µ1? = R2µ2? = R3µ3?. (8.15)
Мы поменяли местами греческие буквы, но это не страшно: в конце концов, мы можем выбрать, какие хотим. Главное, чтобы соблюдалось общее правило: в обеих частях выражения должен быть один и тот же набор свободных индексов. Тензор Риччи также является симметричным: Rµ? = R?µ.