Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной

Кэрролл Шон

Но вот вопрос: что мы имеем в виду под словами «мгновение спустя»? Сколько это — мгновение? Секунда? Доли секунды? Как-то не слишком определенно.

Пожалуй, было бы хорошо разделить время на минимально возможные единицы. Однако время течет непрерывно. Этот факт очевиден и принимается современной физикой. Древние ученые, от Зенона Элейского (известного своими «парадоксами») до Архимеда, считали непрерывность времени неразрешимой загадкой. Решить ее удалось лишь тогда, когда Ньютон и Лейбниц создали, независимо друг от друга, дифференциальное исчисление — математические методы для работы с бесконечно малыми величинами. Итак, отбросьте все страхи, школьные

и студенческие: в этой главе мы познакомимся с высшей математикой.

Хорошая новость в том, что базовые понятия гораздо проще, чем, возможно, вам говорили. На самом деле их всего два: «производные», которые позволяют определить скорость изменения, и «интегралы», при помощи которых мы можем вычислить его суммарную величину.

(Плохих новостей нет.)

Планеты и силы

На пути к пониманию парадигмы Лапласа как способа описания изменений полезно подумать и о других способах. Рассмотрим, к примеру, движение планет Солнечной системы — вопрос, с давних пор волновавший и вдохновлявший физиков.

Многие знают о Птолемее и Копернике. Птолемей, астроном из Александрии, еще во II веке придумал геоцентрическую модель Солнечной системы (где центром мира является Земля). Эта модель была актуальной более тысячи лет. В XVI веке польский астроном Коперник придумал другой вариант — гелиоцентрическую модель (центр — Солнце), чем сильно расстроил многих из тех, кто с радостью считал себя жителем центра Вселенной. Обе модели строились на окружностях. Но чтобы описать орбиты, используя только окружности, и получить результат, похожий на то, что астрономы реально видели в небе, модель пришлось до ужаса усложнить. Во-первых, окружности орбит оказались смещенными относительно общего центра. Во-вторых, по этим окружностям двигались не планеты, а небольшие круги-эпициклы, точнее их центры. И вот по ним уже двигались сами планеты.

В XVII веке все стало намного проще. Немецкий астроном Иоганн Кеплер, как и Коперник, поставил в центр солнечной системы Солнце. Однако ученый знал, что помимо круга, при всех его достоинствах, есть и другие геометрические фигуры. Решительно выбрав эллипс, он полностью устранил эпициклы, а заодно и все усложнения, связанные с ними. Используя данные, по крупицам собранные его наставником Тихо Браге, Кеплер выдвинул три закона, которым подчинено движение планет:

1. Планеты движутся по эллиптическим орбитам, а Солнце находится в одном из их фокусов.

2. Двигаясь по орбите, планета проходит равные сектора за равное время. Поэтому рядом с Солнцем скорость движения выше, чем вдали от него.

3. Чем больше орбита, тем больше времени требуется на оборот вокруг Солнца. Если точнее, квадрат периода обращения планеты вокруг Солнца пропорционален кубу большой полуоси эллипса ее орбиты. Именно так связаны друг с другом орбиты разных планет.

Законы Кеплера значительно приблизили ученых к пониманию динамики планет. Однако возник и новый вопрос: почему орбиты подчиняются этим законам? Стоит ли вообще думать об этом?

В конце XVII века, на заре Эпохи Разума, эти вопросы волновали лучших ученых нашего мира. Вдохновленные работами Галилея и Декарта, натурфилософы сосредоточились на механике — науке о движении, его причинах. Было известно, что прямолинейное движение с постоянной

скоростью является естественным состоянием объекта, а его импульс всегда сохраняется. Но нужно было понять, почему тела не всегда движутся по прямой. Казалось, ответ очевиден: на них воздействуют некие силы. Но что такое сила и как она действует — оставалось неясным. По сути ученые вернулись к концепции Аристотеля о вынужденных или же неестественных движениях. Изменилось лишь мнение о том, что считать естественным состоянием: движение с постоянной скоростью пришло на смену неподвижности.

Важный шаг вперед сделал голландский физик Христиан Гюйгенс. Проведем простой опыт: привяжем к камню веревку и будем крутить его над головой. Чтобы камень не улетел, а описывал круги, придется крепко держать веревку. Гюйгенс нашел формулу для расчета «центростремительной силы», которую нам нужно приложить. (Еще он предложил волновую теорию света, изобрел маятниковые часы и открыл спутник Сатурна Титан. Бурное было время.) Конечно, веревка и камень лишь отдаленно показывают движение планет, но общее сходство имеется.

В 1660 году в Англии появилось Королевское общество, и вскоре в его состав вошли экспериментатор Роберт Гук, архитектор Кристофер Рен и молодой астроном Эдмунд Галлей, которые впоследствии стали друзьями. В одной из прочитанных обществу лекций Гук заявил, что движение планет можно объяснить силой тяготения Солнца, которая уменьшается с расстоянием и отклоняет планеты от прямолинейных траекторий. Однако Гук не был знатоком математики и не смог довести свою идею до ума. Вместе с Галлеем и Реном Гук много времени проводил в кофейнях (популярное новшество того времени) за обсуждением этих вопросов. К 1684 году друзья поняли, что третий закон Кеплера можно выразить с помощью формулы центростремительной силы Гюйгенса, если принять, что сила тяготения Солнца подчиняется закону обратных квадратов. Например, если одна планета в три раза дальше другой от Солнца, то воздействующая на нее сила будет в девять раз меньше той, что воздействует на вторую планету. Однако Гук и компания не смогли доказать, что орбиты планет под таким воздействием будут иметь форму эллипса.

Ньютон и его законы

Рен хорошо потрудился, проектируя собор Святого Павла и ряд других зданий, и был, возможно, самым богатым из трех друзей. Он предложил награду тому, кто сможет вывести формулу орбиты с учетом закона обратных квадратов. Уже в то время все знали, что самый умный на земле — Исаак Ньютон, который жил тогда в Кембридже и сторонился больших компаний. Однажды Галлей набрался смелости и приехал к нему. Ньютон принял Галлея любезно, и тот завел разговор об орбитах и гравитации. Ньютон сразу же заявил, что получится эллипс. Несколько ошеломленный Галлей спросил, почему он так в этом уверен. Ньютон ответил: «Я его вычислил».

Увы, мы не знаем, как именно он это сделал. Известно лишь, что Галлей попросил Ньютона изложить расчет на бумаге, после чего написал небольшую статью и представил ее Королевскому обществу. Однако статья оказалась не слишком подробной, и Галлей вновь обратился к великому физику с просьбой расширить ее. Ньютон с энтузиазмом начал работу. Восемнадцать месяцев спустя он создал «Математические начала натуральной философии» (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica), сокращенно — «Начала», книгу, что оказала, быть может, самое большое влияние на развитие современной науки.