Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной
Шрифт:
Во-вторых, мы хотим воссоздать проделанный путь, то есть определить суммарно пройденное расстояние по известным начальным данным о положении, скорости и ускорении. В самом простом случае, когда объект движется строго с постоянной скоростью, нужно умножить скорость на время движения. Но если во время пути объект ускоряется или же замедляется, делает повороты, этого недостаточно. Здесь также нужно крепко подумать.
Дифференциальное исчисление как раз и дает ответ на вопрос о том, как найти мгновенную скорость и расстояние, пройденное за промежуток времени. Для этого нам нужны производные и интегралы, как называют их математики. Что же, пора засучить рукава.
Функции
Представим себе машину, которая мчится по прямому шоссе. Ее скорость и ускорение представлены векторами, но так
С математической точки зрения мы получили функцию, которая определяет положение машины x в зависимости от времени t. Функция устанавливает соответствие между двумя величинами. Мы можем взять одну из них, пропустить ее через функцию и получить другую. При этом величины могут быть выражены числами, множествами чисел или чем-нибудь более сложным. Входная величина называется аргументом функции, а выходное значение соответствует этому аргументу.
Функция: аргумент -> значение
f: t– > x.
Функцию, которая показывает зависимость х от t, можно записать как х = f(t) или, для краткости, просто х(t). Мы можем использовать любые буквы, главное — не забыть, что они означают. Если мы примем за x и y координаты на местности, мы можем выразить высоту рельефа в любой его точке как функцию h(x, y). То есть величина x в каких-то случаях может быть входным значением функции (аргументом), а в других — выходным.
В случае с машиной аргументом будет время t, а функция х(t) — возвращать координату x в соответствующий момент времени. Мы можем нарисовать ее график. Возможно, вам уже знакомы некоторые типовые функции вроде t2 или sin(t). Идея тут в том, что что функция устанавливает однозначное соответствие между значениями t и x, даже если его нельзя записать какой-то простой формулой.
Под «однозначным соответствием» мы понимаем, что каждому значению аргумента противопоставлено одно и только одно выходное значение. Значения могут повторяться: машина может несколько раз проехать какое-то место на дороге, однако в каждый момент времени t она будет только в какой-то одной точке x. График функции может изгибаться вверх и вниз, но не петлять влево или вправо.
Производные
Имея функцию x(t), то есть зависимость положения от времени, мы можем задаться вопросом, какова скорость машины в тот или иной момент. Мы знаем, что скорость показывает, насколько быстро меняется положение. Но как ее вычислить, зная x(t)? Для этого нам недостаточно знать, где машина сейчас: нужно учесть, где она была в другие моменты времени.
Посмотрев на график функции, можно интуитивно понять, что скорость машины связана с наклоном кривой в каждой ее точке: чем круче она изогнута вверх или вниз, тем выше скорость. Почти горизонтальный участок графика показывает, что с течением времени положение машины изменяется медленно, то есть скорость очень мала. Крутой участок, напротив, говорит о быстром перемещении, то есть высокой скорости.
Представим себе прямую линию, которая касается кривой x(t) в какой-то момент времени t0. Она называется касательной линией в этой точке. Скорость машины в момент t0
Это довольно просто, когда машина едет с постоянной скоростью, то есть график функции представляет собой прямую, как на следующем рисунке. Ее наклон, а значит, и скорость вычислить очень легко: достаточно разделить изменение положения на время, в течение которого оно менялось. Обозначим изменение положения за Dx, а промежуток времени — за Dt. Заглавная греческая буква дельта (D) часто используется, чтобы показать изменение какой-то величины. (При этом обозначение Dx представляет собой цифру, изменение x, а не произведение какой-то величины D на x.) Соответственно, скорость составит:
(2.3)
Настало время поговорить об одном из базовых понятий дифференциального исчисления. Если функция относительно плавная, то есть не скачет как попало от значения к значению, на очень коротких отрезках она будет похожа на прямую. Чем больше мы будем увеличивать масштаб, тем более прямолинейной она будет казаться.
И это подсказывает нам, что делать. Возьмем какой-то момент времени t, в который мы хотим посчитать скорость, а также промежуток Dt, конечным моментом которого будет t + Dt. Используя нашу функцию, мы можем определить два положения машины: начальное x(t) и конечное x(t + Dt), а значит, изменение положения за Dt:
(2.4)
Если график функции криволинеен, деление суммарного изменения положения на промежуток времени даст нам среднюю скорость за это время:
(2.5)
Это выражение похоже на (2.3), но, в отличие от него, дает не скорость равномерного движения, а среднюю скорость за некоторый промежуток времени:
Но это не совсем то, что мы ищем: нам нужно вычислить скорость в каждый момент времени. Возможно, вы уже поняли, к чему я веду. Рассмотренный нами промежуток Dt взят совершенно произвольным образом. Мы можем выбрать любой. Давайте его уменьшим. Чем меньше будет Dt, тем меньше получится Dx. По мере того как Dx и Dt будут стремиться к нулю, их частное Dx/Dt будет стремиться к некому числу, отличному от нуля, а фактически — именно к тому, что мы ищем: углу наклона касательной к графику функции в начальный момент времени.
Только что описанные действия называются взятием предела при стремящемся к нулю Dt. Ноль, деленный на ноль, — это не какое-то число. Математически говоря, это значение не определено. Однако если мы возьмем предел (lim) стремящихся к нулю Dt и Dx, их частное даст нам скорость v — определенное значение. Такой предел называется производной функции x(t) и записывается следующим образом: