Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной

Кэрролл Шон

(2.10)

Волнистый знак равенства означает «приблизительно равно».

Чем меньше будет промежуток Dt, тем тоньше получатся прямоугольники (и тем больше их будет). При этом фигура, которую они составляют, будет все ближе и ближе к области под кривой. Поэтому, как и в случае с производными, в пределе Dt становится бесконечно малой величиной, которую мы обозначим dt. Если заменить символ суммы ? на другой,

напоминающий фигурную букву S, мы получим интеграл скорости по времени, то есть пройденное расстояние:

(2.11)

Аналогичным образом, вычислив интеграл ускорения, можно определить изменение скорости:

(2.12)

Это выражение не совсем точно: для простоты в нем отсутствуют сведения о начальном и конечном моментах времени, то есть о промежутке, в течение которого мы наблюдаем за изменением положения или скорости. Полный вариант формулы можно найти в приложении A.

Если производные — это способ осмыслить деление нуля на ноль, то интегралы — аналогичный способ понять умножение на ноль бесконечности (мы ищем сумму площадей бесконечно большого числа прямоугольников нулевой площади). Эти действия (которые математики называют матемическим анализом) можно выполнить довольно точно, хоть и не все ученые с этим согласны. Не удивительно, что в «Началах» Ньютон не стал активно использовать дифференциальное исчисление, которое было в те времена было новинкой. К счастью, для задач физики оно подходит как нельзя лучше.

Зная, какие силы действуют на объект, мы можем определить его ускорение по закону Ньютона — формуле F = ma. Далее, интегрируя ускорение, мы получаем скорость, а интегрируя скорость — пройденный путь. Таким образом, парадигма Лапласа верна: зная исходное положение и скорость, мы можем построить всю траекторию движения объекта.

Интегрирование и дифференцирование представляют собой противоположные операции над функциями. Взяв производную исходной функции, мы получаем новую функцию, а взяв от нее интеграл, — снова исходную. Таким образом производная отменяет интеграл и наоборот.

(2.13)

То же самое в обозначениях:

(2.14)

На практике брать производные относительно просто, интегралы — намного сложнее. Даже лучшие физики часто прибегают к численным методам и вычисляют нужные значения при помощи компьютеров.

Однако нам не придется подробно знакомиться с тем, как брать интегралы и производные (некоторые примеры можно найти в приложении A). Для нас важны не конкретные формулы, а сами эти понятия. Запомним одно простое правило: интеграл от бесконечно малой величины равен конечной величине:

(2.15)

Это означает, что суммарное количество x, накопленное за промежуток времени, есть изменение x от начала процесса до его завершения. При этом за х может быть принято что угодно: расстояние в космосе, промежуток времени, любая физическая величина, которую мы рассматриваем.

Непрерывность и бесконечность

Со времени Ньютона было открыто немало законов фундаментальных физических систем. Джеймс Клерк Максвелл предложил серию формул для электричества и магнетизма, Альберт Эйнштейн — уравнение кривизны пространства-времени, а Эрвин Шрёдингер — волновой функции квантово-механической

системы… Все эти формулы объединяет одно: это дифференциальные уравнения, неизвестными в которых являются функции (временные или пространственные), которые описывают различные явления. По этой причине дифференциальное исчисление занимает в физике центральное место.

Но справедливо ли это? Не зная окончательных формулировок законов физики, мы должны быть открыты для любых предположений. Одно из них состоит в том, что парадигма Лапласа неверна, то есть фундаментальные законы глобальны, а не локальны, то есть не начинаются с какого-то состояния в какой-то момент времени. Следовательно, отталкиваясь от такого состояния, мы не можем судить и о будущих либо прошлых.

Другое предположение — время не непрерывно, то есть имеется некий минимальный промежуток времени, а Вселенная развивается ступенчато, с этим промежутком. Один из плюсов такого подхода в том, что непрерывность (и сестра ее бесконечность) всегда была для людей — математиков и философов — чем-то загадочным, тем, что нельзя увидеть в реальном мире. Однако идея о том, что время дискретно перечеркнет все открытия классической механики и теории относительности, заставит пересмотреть большую часть наших знаний о мире. И хоть, возможно, в конечном итоге так и придется сделать, разумно не слишком спешить со столь радикальными переменами.

Непрерывность времени (либо какой-то другой величины) означает, что между точками, разделенными, на наш взгляд, каким-то конечным расстоянием, лежит бесконечное число других, промежуточных точек. Мы можем проверить это, представив себе линию, изображающую время, которое течет из прошлого в будущее. Поставим на ней две точки и обозначим их t = 0 и t = 1.

На полпути между ними можно поставить еще одну точку: t = 1/2. Однако таким же образом можно поступить и с отрезком между t = 0 и t = 1/2: отметить его середину t = 1/4. Далее мы найдем и отметим точки t = 1/8, 1/16, 1/32… Какой бы отрезок мы ни взяли, у него всегда найдется середина (например, t = 3/4, 7/8, 15/16, 31/32 и так далее между t = 0 и t = 1). То есть между любыми двумя точками на непрерывной прямой будет бесконечно много других точек.

Примечательно то, что количество точек между 0 и 1 так же бесконечно, как и между —? и +?. Это немного странно, ведь мы привыкли считать, что часть множества состоит из меньшего числа элементов, чем все множество целиком. Но бесконечность — нечто особенное. Мы можем изобразить интервал между 0 и 1 в виде следующей функции:

Здесь всем значениям x от —? до +? однозначно соответствуют значения y от 0 до 1. Построить аналогичную функцию для —? и +? по оси y нельзя, поскольку между х и y не будет точных и однозначных соответствий.

Можно решить, что все бесконечные величины каким-то непостижимым образом одинаковы. Ведь умножив бесконечность на 2 (или другое число больше 0), мы получим в результате бесконечность. Но разве количество целых чисел равно количеству четных? Нет, все немного сложнее. Георг Кантор, немецкий математик XIX века, доказал, что есть разные степени бесконечности. Согласно теореме Кантора, есть бесконечно много целых чисел и бесконечно много реальных, однако последних больше, чем первых. Открытие вызвало всеобщее неодобрение. Многие математики усомнились в представленных доводах, а современник Кантора Леопольд Кронекер даже назвал его «растлителем молодежи». Сегодня ученые в целом согласны с доказательством теоремы, но все же не склонны считаться с выводами, которые из нее следуют.