Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма

Коллектив авторов

Его заметки были просто напоминаниями для самого себя, ключами, благодаря которым перед ним снова представала идея, возникшая как раз перед тем, как он ее вкратце записал.

Но есть и другая причина, о которой мы поговорим позже, когда расскажем о том, как Ферма развил наследие Виета.

Как бы то ни было, убеждение остальных в правильности своих результатов не входило в круг его интересов. Ученый думал, что другие смогут воспроизвести его рассуждения, а если не смогут — тем хуже для них. В любом случае попытки убеждать были бы, судя по всему, потерей его ограниченного времени: Ферма предпочитал посвятить его поиску новых результатов, а не доказательству того, что и так выглядело

очевидным.

[Если возникнет] любая часть моей работы, которая будет достойна публикации, я отказываюсь от того, чтобы в ней появлялось мое имя.

Ферма в письме Робервллю, 1637 год

Его собственная профессиональная карьера способствовала такому отношению, поскольку не давала ему достаточно досуга для занятий математикой. Так, вся научная жизнь Ферма характеризуется результатами, о которых он объявлял очень осторожно, едва намеченными идеями, никогда не доведенными до завершения, презрением к заполнению пробелов и деталям, а также отсутствием доказательств. Вкратце его методы можно назвать полнейшей противоположностью тому, чем занимался Евклид с его систематическим и строгим подходом и выверенными доказательствами, которые имели огромное значение для поколений математиков. В этом смысле Ферма был намного ближе к реистской традиции, чем к античной строгости.

Все эти записки, наброски и беспорядочные бумаги привел в порядок, систематизировал и опубликовал (по крайней мере все, что смог найти и осмыслить) его наследник, первенец Клеман-Самюэль. Он унаследовал не только должности отца, но и, по крайней мере частично, страсть к математике.

Помимо прочего, в 1670 году сын опубликовал комментарии к Диофанту, собрав все пометки отца на полях. Именно так до нас дошла знаменитая теорема, которая явно была просто пометкой, сделанной Ферма для себя самого. Он никогда ни с кем не делился ею целиком; единственное оставшееся свидетельство о ней — заметка на полях, которую Клеман-Самюэль, верный памяти отца, расшифровал и посмертно опубликовал.

Ферма обсуждал частные результаты теоремы; но общая формулировка, в том виде, в каком она появляется в его случайной записи, почти точно затерялась бы.

Судьба научной работы иногда зависит от воли некоего человека, который сочтет, что она важна. И таким волоском в случае Ферма стала любовь Клемана-Самюэля к своему отцу и к памяти о нем.

Итак, мы, наконец, пришли к этому полю, на котором Ферма записал свою дьявольскую теорему. "Я нашел, — утверждает он, — этому поистине чудесное доказательство, но поля здесь слишком узки, чтобы записать его".

Любопытно, что в течение веков всегда говорили о Великой теореме Ферма. В математике любой недоказанный результат известен как предположение, или гипотеза. Так, у нас есть гипотеза Римана, гипотеза Гольдбаха и до недавнего времени у нас была гипотеза Пуанкаре, которая, после того как была доказана, превратилась в теорему Пуанкаре — Перельмана. Дело в том, что только доказанные результаты заслуживают звания теоремы.

Но по какой-то причине утверждение Ферма всегда было известно как теорема; возможно, потому что другие утверждения ученого были постепенно доказаны и оставалось только последнее. Следовательно, теореме Ферма понадобилось 350 лет, чтобы оправдать свое название.

ГЛАВА 2

Попытки доказательства Великой теоремы

В течение 350 лет историки математики безуспешно задавались вопросом: действительно Ферма доказал свою теорему или нет? А может, на самом

деле он ошибочно верил в то, что ему это удалось? Стиль работы французского математика позволяет предположить все что угодно, хотя одни версии более вероятны, чем другие.

Математические методы эпохи Ферма были очень похожи на те, которыми пользуется прилежный ученик в школе. Другими словами, человечеству понадобилось около 2500 лет на то, чтобы приобрести знания, доступные сейчас выпускнику школы. И наоборот, с тех пор научные понятия усложнились настолько, что неспециалисты уже не в состоянии их понять.

Математики, которой пользовался Уайлс для доказательства Последней теоремы Ферма, не существовало во времена французского ученого. На самом деле большая ее часть была создана только в XX веке. Поэтому чрезвычайно сложно поверить в то, что у Ферма было доказательство его теоремы, которое не смогли получить самые лучшие мировые математические умы в течение 350 лет.

Наиболее вероятно, что Ферма доказал некоторые частные случаи. В замечании 45 к трактату Диофанта отмечается, что он доказал ее для случая n - 4. То есть не существует таких натуральных чисел х, у и z, что х⁴ + у⁴– z⁴.

Возможно, Ферма также доказал случай n = 3. По крайней мере, он ссылался на это в своей переписке как на доказанный результат, точно так же, как и n = 4. Вероятно, на основе этих двух случаев математик решил, что обобщение сделать очень просто.

Ферма ошибался уже не в первый раз. Он также утверждал, что 2^2^p +1 — всегда простое число (делится только на само себя и на единицу), если р — простое. Великий швейцарский математик Леонард Эйлер (1707-1783) доказал, что это не так: при р - 5 утверждение Ферма ложно, поскольку полученное число делится на 641.

Так что Ферма иногда делал неправильные выводы, слишком доверяя интуиции и своим неполным доказательствам. Есть основания думать, что его предполагаемое доказательство Последней теоремы существовало только в его воображении и что отсутствие строгости привело его к очень смелому утверждению на основе пары отдельных случаев... к утверждению, которым, с другой стороны, насколько известно, он не собирался делиться со всеми.

В любом случае, следует отметить, что Великая теорема — это просто любопытное явление, практически мелочь, а не одна из основ математической революции. По сравнению с другими результатами, которые на сегодняшний день так и не доказаны, такими как гипотеза Римана, математическое значение теоремы ослабевает; после ее доказательства не было создано нового и плодородного поля математических исследований. Математики измеряют значимость результата с учетом новой математики, которую этот результат порождает после его доказательства. Дело в том, что Последняя теорема сама по себе ни к чему особенному не ведет.

Однако усилия, потраченные на ее доказательство в течение 350 лет, способствовали развитию важнейших математических теорий. В этом и заключается парадокс данной теоремы: в некотором смысле она представляет собой незначительный результат, замечание, подходящее для поля книги, где она была записана; но огромная сложность доказательства и интерес, который оно вызывало в течение веков, привели к созданию сложных теорий, применение и развитие которых оказались крайне значимыми.

Преподаватели, упомянутые нами ранее, очевидно, говорили своим ученикам: "Хоть бы она никогда не была доказана". Потому что математические методы и теории, которые были порождены попытками доказательства, оказались важнее самой теоремы, и мы надеемся, что благодаря этим попыткам появятся новые теории.