Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма
Шрифт:
Конечно, вероятна и другая версия истории, согласно которой Ферма, как он это иногда делал, играл со своими современниками, бросая им вызов и провоцируя на поиск доказательства того, в чем сам не был уверен; однако свой результат он не опубликовал, и этот факт выступает против данной гипотезы. Кроме того, как уже было сказано, очень трудно себе представить, что Ферма действительно обладал общим доказательством теоремы. Либо самые блестящие математики последних 350 лет были слепцами, либо необходимого математического аппарата для доказательства во времена Ферма просто не существовало. Второе намного более вероятно.
Нерешенная проблема — как стена. Математики,
У Ферма было такое оружие, о котором одно или два предыдущих поколения даже не мечтали; но его было недостаточно, чтобы решить его задачу. С другой стороны, вполне вероятно, что он этого не знал. Возможно, тулузский юрист был ослеплен блеском стали того арсенала, который изобрел его выдающийся предшественник Виет, а также он сам, и не подозревал, что не все стены разрушаются под его ударами. Девизом Виета была фраза: Nullum problema solver ("Нет проблем без решений"). Сегодня оптимизм ученого можно назвать чрезмерным, но тогда никто этого не знал.
Математики используют в своих доказательствах не меньшее количество стратегий, чем полководцы в битве, а возможно, даже и большее. Во времена Ферма число стратегий значительно увеличилось с изобретением символической алгебры; одну из тех, что использовал Ферма, изобрел он сам: метод бесконечного спуска, который происходит из доказательства от противного. В общих словах данный метод заключается в том, чтобы принять за гипотезу тезис, противоречащий теореме, которую мы хотим доказать, и искать свойство, справедливое для заданного числа п. Затем доказывается, что если данное свойство справедливо для числа n, оно также справедливо для числа меньше n, как правило n - 1.
Но здесь возникает проблема! Если это так, то существует бесконечная последовательность натуральных чисел, каждый раз все меньших, а мы знаем, что это не так. Самое маленькое натуральное число равно 1. Таким образом, у нас есть противоречие, из которого следует, что наша гипотеза ошибочна.
Так Ферма доказал, что его знаменитая теорема истинна по крайней мере для частного случая, при n = 4, в записи, которая почти поместилась на другом поле той же самой "Арифметики" Диофанта. И мы говорим "почти", потому что Ферма опустил, как обычно, некоторые этапы доказательства.
Мало что еще можно сказать о работе Ферма над доказательством его легендарной теоремы, поскольку он практически больше ничего не оставил на эту тему; зато мы можем проследить ее судьбу в течение тех 350 лет, которые Ферма не мог увидеть.
Как уже было сказано, Великая теорема Ферма стала известна после его смерти. С другой стороны, теория чисел, над которой работал математик, не имела большого успеха среди его современников, так как они больше интересовались другими математическими проблемами того времени. Поэтому публикация комментариев Ферма к "Арифметике" Диофанта не имела большого резонанса. Ученые того времени не понимали его увлеченности этими "бессмысленными" задачками, которые
Швейцарский ученый Леонард Эйлер (1707-1783) был знаковой фигурой в математике XVIII века. Его работы посвящены практически всем областям математики, существовавшим в тот момент, а также разнообразным проблемам физики и ряда других наук.
Эйлер занимал выдающиеся должности в академиях наук России и Пруссии во время правления Екатерины Великой и Фридриха II, где он общался на равных с королями и мыслителями уровня Вольтера. Ученый был одноглазым и в конце концов полностью потерял зрение, но это не помешало ему каждую неделю писать по статье.
У него была чудесная память, которая позволяла ему доказывать теоремы в уме, а также без проблем читать наизусть"Энеиду" от начала и до конца. Рассказывают, что когда Екатерине надоели атеистические рассуждения Дидро, она попросила Эйлера унизить его публично. Тот подошел к философу и выпалил:
"(a+bn)/n = х, следовательно, Бог существует. Отвечайте!"
Дидро не знал, что ответить. Однако некоторые историки сомневаются в истинности этой истории. Также Эйлеру принадлежит одна из самых красивых формул в математике: еn + 1 = 0.
Однако прусский математик Христиан Гольдбах (1690- 1764; что любопытно, он знаменит благодаря своей до сих пор не доказанной гипотезе, не сильно отличающейся от задач, которыми занимался Ферма) начал изучать работы Ферма и привлек к ним внимание самого великого математика своего времени. Этим математиком, родившимся примерно через 40 лет после смерти Ферма, был Леонард Эйлер.
Как и все женщины-ученые, жившие до XX века, парижский математик Софи Жермен (1776-1831) столкнулась со множеством проблем в своей научной карьере. Она не получила официального образования и пользовалась для учебы записками Политехнической школы. Софи также переписывалась с великими математиками своего времени, такими как Жозеф Луи Лагранж, Адриен Мари Лежандр и Гаусс, выдавая себя за некоего "господина Леблана". Гаусс узнал правду о ее личности при самых любопытных обстоятельствах, которые только можно себе представить. Когда наполеоновские войска заняли территорию Германии, где жил Гаусс,
Жермен испугалась за жизнь своего корреспондента, вспомнив пример Архимеда, и написала генералу Пернети, другу ее семьи, попросив его защитить гения. Пернети послал отряд, от которого Гаусс узнал о хлопотах Софи. Тронутый и удивленный, Гаусс написал Жермен, заметив, что из-за глупых предрассудков эпохи женщина вынуждена действительно быть человеком, обладающим "благородной смелостью, необычайным талантом и наивысшей гениальностью", чтобы победить все препятствия.