Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
его высоту
и его площадь
Треугольники AML и KGL подобны, так как GK и AM параллельны (они получены в результате пересечения двух параллельных граней куба плоскостью сечения), с коэффициентом подобия 1/3 (мы доказали раньше, что 3GL = ML). Следовательно, площадь треугольника KGL равна 1/9 площади треугольника AML, а площадь
Ответ.
4.3. Пусть K — точка пересечения AO1 и C1C (рис. P.4.3). Соединим K с центром Q боковой грани BB1C1C и получим сечение куба. Так как Q — центр симметрии квадрата B1C1CB, то B1E = FC. Проведем O1C1 и AC. Отрезок O1C1 — средняя линия в треугольнике AKC, и, следовательно, KC1 = C1C.
Треугольники KFC и KEC1 подобны с коэффициентом подобия 2. Поэтому FC = 2EC1. Так как FC = В1Е, то отношение отрезков B1E к ЕС1 равно 2.
Ответ. 2.
4.4. Пусть высота данной пирамиды h, сторона основания а. Найдем объем фигуры, лежащей под сечением BEFG (рис. P.4.4, а), как разность объемов пирамид EBCM и FGDM.
Объем первой пирамиды равен
1/3 h/23a^2/2 = 3/4 ( 1/3 ha^2) = 3/4 v,
где v — объем данной пирамиды.
Чтобы найти высоту пирамиды FGDM, сделаем чертеж плоскости, в которой лежит грань SDC (рис. P.4.4, б). Проведем EL параллельно SD. Так как E — середина SC, то DL = 1/2 DC = a/2. Из подобия треугольников MEL и MFD найдем
FD/EL = MD/ML = 2a/2,5a = 4/5.
Нетрудно проверить (сделайте это самостоятельно), что высота пирамиды FGDM равна 4/5 высоты EBCM, т. е. 4h/10.
Из подобия треугольников MGD и MBC (см. рис. P.4.4, а)
1/3 4h/102a^2/3 = 4/15( 1/3 ha^2) = 4/15v,
Таким образом, объем фигуры, лежащей под сечением, равен
3/4 v– 4/15v = 29/60v.
Ответ. 29/31.
4.5. Сечение AMND и диагональная плоскость ASC разбивают данную пирамиду на четыре части. Так как высота пирамиды NACD (рис. P.4.5) вдвое меньше высоты данной пирамиды, а площадь основания вдвое меньше площади основания ABCD, то ее объем равен v/4, где v — объем данной пирамиды.
Рассмотрим пирамиды ASBC и ASMN с общей вершиной A. Их высоты равны, а площадь основания первой в четыре раза больше. Следовательно, их объемы относятся, как 4 : 1. Таким образом, на долю пирамиды ABMNC приходится 3v/8.
Теперь можно найти, какую часть объема пирамиды составляет фигура, расположенная под сечением:
1/4 v + 3/8v = 5/8v.
Ответ. 5 : 3.
4.6. Соединим точки P, Q и R с вершиной A (рис. Р.4.6), после чего соединим их между собой.
Продолжим A1B1 до пересечения с QP в точке E и A1D1 до пересечения с QR в точке F. Обе точки E и F лежат в плоскости верхнего основания, а EF — след сечения в этой плоскости, который пересекает верхнюю грань куба по отрезку MK.
Продолжим DC до пересечения с PR в точке G и соединим K с G. На ребре СС1 получим точку L, принадлежащую сечению.
Из подобия треугольников QА1Е и QAP следует, что А1Е = А1Q = 3a/2, где а — ребро куба.
Следовательно, В1Е = а/2. Аналогично D1F = а/2 и СG = а/2, откуда следует, что МС1 = KC1 = LC1 = а/2. Объем пирамиды MC1LK равен а^3 : 48.