Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

Простой проверкой легко убедиться, что это соотношение справедливо, если M совпадает с А и если M совпадает с С. B первом случае AM = 0, а МВ = AB и равенство становится очевидным AB^2 = АВ^2. Во втором случае AM = AC = 2/3 AB, МВ = СВ = 1/3 AB и

2( 2/3 AB)^2 + ( 1/3 АВ)^2 = АВ^2.

Перейдем

к доказательству обратного утверждения.

Докажем, что если в треугольнике АМВ

3АO = AB и 2АМ^2 + МВ^2 = АВ^2,

то АO = MO, т. е. точка M лежит на окружности радиусом АO. Начнем со случая, когда M не лежит на AB. Предыдущие рассуждения подсказывают нам, что полезно воспользоваться не только данным соотношением, но и теоремой косинусов для треугольника АМВ:

МВ^2 = АМ^2 + АВ^2 - 2АМ · AB cos А.

Так как мы не знаем, чему равен cos А, то постараемся его исключить. Запишем теорему косинусов для стороны MO треугольника АMO (учтем при этом, что 3АO = AB):

MO^2 = АМ^2 + ¹/₉АВ^2 - 2/3 AM · AB cos А.

Умножив последнее равенство на -3 и сложив с выражением для МВ^2, получим

МВ^2 - 3MO^2 = -2АМ^2 + 2/3 АВ^2.

Заменяя МВ^2 + 2АМ^2 на АВ^2, придем к равенству

АВ^2 = 3MO^2 + ³/₂АВ^2, т. е. АВ^2 = 9MO^2,

откуда AB = 3MO и MO = АO, что и требовалось показать.

Если теперь точка M лежит на прямой AB, то она может располагаться либо на отрезке AB (включая его концы), либо вне этого отрезка.

Пусть точка M расположена вне отрезка AB. Тогда или AM + AB = МВ, или МВ + AB = AM. B первом случае получаем AB = МВ– AM, а после возведения в квадрат: АВ^2 = АМ^2 + МВ^2 - 2АМ · МВ. Заменяя АВ^2 на 2АМ^2 + МВ^2, придем к равенству AM = -2МВ, которое абсурдно. Аналогично рассматривается второй случай.

Пусть теперь точка M расположена на отрезке AB. Тогда AM + МВ = AB, что после возведения в квадрат и замены АВ^2 на 2АM^2 + МВ^2

приводит к равенству

АМ^2 = 2МВ · AM.

Из этого равенства следует, что либо AM = 0 (точки А и M совпадают), либо AM = 2МВ (точка M совпадает с точкой С).

Тем самым доказательство полностью завершено.

5.4. B треугольниках АВМ и ВМС при любом их расположении сторона ВМ общая. Если выбрать ее в качестве основания, то для равенства площадей этих треугольников необходимо и достаточно равенство высот, т. е. площади треугольников равны тогда и только тогда, когда прямая ВМ отстоит от точек А и С на одинаковое расстояние. Так как точки А и С зафиксированы, то задача состоит в нахождении всех прямых равноудаленных от А и С.

Если прямая ВМ пересекает отрезок AC (рис. P.5.4, а), то из равенства высот h₁ и h₂ следует, что треугольники АВF и CВF равновелики. Поскольку они имеют общую высоту, соответствующую вершине B, их основания АF и CF равны, и прямая, равноотстоящая от А и С, проходит в этом случае через середину отрезка AC.

Если же прямая ВМ не пересекает отрезок AC (рис. P.5.4, б), то из равенства высот h₁ и h₂ следует, что ВМ || AC.

Остается убедиться, что любая точка прямых ВМ, изображенных на рис. P.5.4, а и P. 5.4, б, удовлетворяет условию задачи. Следовательно, прямые ВМ и BF (рис. P.5.4, в) образуют искомое геометрическое место точек.

5.5. Рассмотрим вначале случай, когда прямые AB и CD, на которых лежат данные отрезки, пересекаются в некоторой точке N (рис. P.5.5, а). Пусть точка M принадлежит искомому геометрическому месту. Площади треугольников АВМ и CDM не изменятся, если каждый из отрезков AB и CD двигать по несущей его прямой. Переместим отрезки так, чтобы они имели своим общим концом точку N. Отрезок AB перейдет в NB', а отрезок CD — в ND'. Поскольку пары треугольников АВМ, NB'M и CDM, ND'M равновелики, то искомое геометрическое место точек можно характеризовать тем свойством, что площади треугольников NB'M и ND'M равны.