Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
6.3. Разложим данное число на множители двумя способами:
3105 + 4105 = (35)21 + (45)21 = 24321 + 102421 = (243 + 1024)(24320– ... + 102420) = 181 · 7(24320– ... + 102420);
3105 + 4105 = (37)15 + (47)15 = 218715 + 16 38415 = (2187 + 16 384)(218714– ... + 16 38414) = 18 571(218714– ... + 16 38414) = 49
Таким образом, данное число делится на 49 и на 181.
6.4. Множитель 2 содержится не менее одного раза во всех четных числах, не менее двух раз во всех числах, делящихся на 4, не менее трех раз в числах, делящихся на 8, и т. д. Поэтому четные числа мы должны сосчитать отдельно, прибавить к ним количество чисел, делящихся на 4, к ним прибавить количество чисел, делящихся на 8, и т. д. B результате получим
250 + 125 + 62 + 31 + 15 + 7 + 3 + 1 = 494.
B этой сумме каждое следующее слагаемое получено из предыдущего как целая часть от деления его на два.
Ответ. 494.
6.5. Если умножить данное число на 10, то его свойство быть кратным 81 не изменится. Получим число
Сумма цифр этого числа делится на 9. Разобьем его на 9 одинаковых секций
и будем делить на 9. Так как сумма цифр в каждой секции равна 9, то каждая секция делится на 9. Обозначим частное от деления одной секции на 9 через А. B результате деления на 9 всего числа получим частное
Сумма цифр числа, стоящего в скобках, равна 9. Следовательно, полученное частное делится на 9, а данное число — на 81.
6.6. Дополним n4 + 4 до полного квадрата:
n4 + 4n^2 + 4 - 4n^2 = (n^2 + 2)^2 - 4n^2 = (n^2 - 2n + 2)(n^2 + 2n + 2).
Число n4 + 4 может быть простым только в том случае, если либо n^2 - 2n + 2 = 1, либо n^2 + 2n + 2 = 1. Решая эти уравнения, получим n = 1, n = -1. При n = ±1 данное выражение равно 5, т. е. является простым числом.
Ответ. n = ±1.
6.7. Подставим n = 2k, получим
n/12 + n^2/8 + n^3/24 = k/6 + k^2/2 + k^3/3 = 2k^3 + 3k^2 + k/6 = k(k + 1)(2k + 1)/6.
Остается
Так как одно из двух последовательных целых чисел k и k + 1 четное, то делимость на 2 очевидна. Если ни k, ни k + 1 не делятся на 3, то k = 3m + 1, а k + 1 = 3m + 2. Тогда 2k + 1 = 2(3m + 1) + 1 = 6m + 3, т. е. 2k + 1 делится на 3. Тем самым доказательство закончено.
6.8. Способ 1. Если дробь сократима, то
5x + 7 = qr, 2x + 3 = pr.
Исключая из этих равенств x, получим
1 = (5p– 2q)r, или 1/r = 5p– 2q.
Если дробь 2x + 3/5x + 7 сократима на целое число r /= ±1, то в последнем равенстве справа стоит целое число, а слева — не целое. Таким образом, это равенство противоречиво, и данная дробь не сократима.
Способ 2. Если данная дробь сократима, то сократима и дробь
5x + 7/2x + 3 = 2 + x + 1/2x + 3.
Таким образом, должна быть сократимой дробь, стоящая в правой части и, следовательно, дробь
2x + 3/x + 1 = 2 + 1/x + 1.
Дробь 1/x + 1 не сократима ни при каких x, так как в числителе стоит единица.
Итак, данная дробь не сократима ни при каких x.
6.9. Число
Когда y = 2, то x определяется однозначно: так как сумма цифр должна делиться на 9, то x = 4.