Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы, Ваховский Евгений Борисович

Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

на обложку

Ваховский Евгений Борисович

Шрифт:

x^2 = 4y^2 + 20 025?

6.16. Найдите натуральные x и y, удовлетворяющие условию 113x - 69y = 11, сумма которых x + y принимает наименьшее значение.

Глава 7

Алгебраические преобразования

Следующие ниже замечания относятся не только к этой главе, они имеют более общий характер.

Множества точек x числовой оси, удовлетворяющих неравенствам

1) а < x < b;

2) а <= x <= b;

3) а <= x < b;

4) а < x <= b;

5) x > а;

6) x < а;

7) x >= а;

8) x <= а,

где а < b,

называются интервалами и обозначаются соответственно (а, b); [а, b]; [а, b), (а, b]; (а, +); (-, а); [а, +); (-, а].

Интервалы 1), 5) и 6) называются открытыми; интервал 2) называется замкнутым; интервалы 3), 4), 7) и 8) называются полуоткрытыми. Иногда вместо терминов: открытый интервал, замкнутый интервал, полуоткрытый интервал используют соответственно термины: промежуток (или интервал), отрезок (или сегмент), полуотрезок.

По определению

Для арифметического корня имеет место формула

а^2 = |а|.

Иногда приходится пользоваться формулами куба суммы и разности чисел в виде

(а + b)^3 = а^3 + b^3 + 3аb(а + b);

(а - b)^3 = а^3 - b^3 - 3аb(а - b).

Следующая формула называется формулой сложного радикала:

(все подкоренные выражения должны быть неотрицательными).

По определению

где а >= 0, m, n — натуральные числа и корень арифметический.

Из этого определения следует, что степени с отрицательным основанием и дробным показателем считаются не имеющими смысла. Например,

не имеет смысла, в то время как

По определению

0 = 1 при а /= 0.

Чтобы избежать недоразумений, удобно договориться, что знак корня используется либо для обозначения арифметического корня из неотрицательного числа, либо отрицательного корня нечетной

степени из отрицательного числа.

Таким образом,

Для арифметических корней и корней нечетной степени из отрицательных чисел справедливо правило умножения и деления корней:

Правило, в силу которого показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же натуральное число, справедливо для арифметических корней и не справедливо для корней нечетной степени из отрицательных чисел.

Замечание. В качестве показателя корня используются только натуральные числа. Иногда встречаются задачи, где показатели — достаточно сложные алгебраические выражения. Во избежание путаницы лучше знак корня в таких задачах не использовать, а прибегать к дробным показателям степени.

7.1. Упростите выражение