Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

7.13. Докажите, что из условия

следует

(а + b + с)^3 = 27аbс.

7.14. Квадратный трехчлен 24х^2 + 48x + 26 есть разность кубов двух линейных функций с положительными коэффициентами. Найдите эти функции.

Глава 8

Делимость многочленов.

Теорема Безу. Целые уравнения

Многочлен S(x)

называется частным, а многочлен R(x) — остатком от деления многочлена P(x) на многочлен Q(x), если равенство

P(x) = Q(x) · S(x) + R(x)

является тождеством и степень многочлена R(x) меньше степени многочлена Q(x).

Обобщенная теорема Виета. Для корней х₁, х₂, ..., х_n уравнения

а₀хⁿ + a₁x^{n - 1} + ... + а_{n - 1}x + а_n = 0

имеют место формулы:

^,

^,

.

Для уравнения a₀xⁿ + a₁x^{n - 1} + ... + а_n = 0 с целыми коэффициентами а₀, а₁, ... , а_n верна теорема: если уравнение имеет рациональный корень ^p/_q , то p числитель является делителем свободного члена а_n, а знаменатель q — делителем коэффициента а₀.

В частности, если а₀ = 1, то уравнение может иметь только такие целые корни, которые являются делителями свободного члена а_n.

8.1.

Решите уравнение

(x - 4,5)⁴ + (x - 5,5)⁴ = 1.

8.2. Решите уравнение

(4x + 1)(12x - 1)(3x + 2)(x + 1) = 4.

8.3. Докажите, что уравнение

x^2 - 3у^2 = 17

не имеет решений в целых числах.

8.4. Найдите все целые решения уравнения

x^2 - 6xу + 13у^2 = 100.

8.5. Найдите остаток от деления многочлена x⁹⁹ + x^3 + 10x + 5 на многочлен x^2 + 1.

8.6. Найдите все целочисленные решения уравнения

2x^2у^2 + у^2 - 6x^2 - 12 = 0.

8.7. В уравнении

x⁴ + аx^3 + bx^2 + 6x + 2 = 0

один из корней равен 3 + 1. Найдите остальные корни уравнения, если а и b — рациональные числа.

8.8. При каких значениях а оба корня уравнения

x^2 - (а + 1)x + а + 4 = 0

отрицательны?

8.9. Найдите соотношение между а, b и с, если корни уравнения

x^3 + аx^2 + bx + с = 0

образуют геометрическую прогрессию.

8.10. Известно, что уравнение x^3 + px + q = 0 имеет корни ₁, ₂, ₃. Выразите сумму ₁^2 + ₂^2 + ₃^2 через p и q.

8.11. При каких а и трехчлен х^3 + ax + 1 делится на двучлен x - без остатка и частное от деления при всех x больше нуля?

8.12. Остатки от деления многочлена относительно x на x - 2 и x - 3 равны соответственно 5 и 7. Найдите остаток от деления этого многочлена на (x - 2)(x - 3).

8.13. Найдите все действительные значения p и q, при которых х⁴ + 1 делится на x^2 + рх + q.