Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
sin [5(/2 + 2n)] = sin /2 = 1, cos [4(/2 + 2n)] = cos 0 = 1.
Ответ. /2 + 2n.
16.6. Обозначив lg (sin x + 4) = y, получим уравнение
y^2 + 2y– 5/4 = 0,
y которого два корня: y1 = -5/2, y2 = 1/2 .
Для
lg (sin x + 4) = -5/2,
откуда
Так как
Для второго корня получим
lg (sin x + 4) = 1/2 ,
откуда
Так как
Ответ.
16.7. Данное уравнение эквивалентно системе
Уравнение можно преобразовать, если сгруппировать sin x и sin^3 x:
sin x (1 - sin^2 x) - 1/4 cos x = 0, или sin x cos^2 x– 1/4 cos x = 0.
Так как sin x > 0, то cos^2 x < 1, и любое решение уравнения
sin x cos^2 x– 1/4 cos x = 0
удовлетворяет неравенству
sin x– 1/4 cos x > 0.
Запишем уравнение в виде
cos x(sin 2x– 1/2 ) = 0.
Так как sin x /= 1 и sin x > 0, то cos x /= 0. Остается
sin 2x = 1/2 ,
откуда
x1 = n + /12, x2 = (2n + 1)/2– /12.
Из всех ограничений осталось удовлетворить только одному: sin x > 0. Чтобы добиться этого, нужно для x1 и x2 взять n = 2k.
Ответ. 2k + /12; 2k + 5/12.
16.8. Данное уравнение равносильно системе
Условие sin x > 0 содержится в уравнении, так как справа стоит всегда неотрицательное
Рассмотрим следствие исходного уравнения
sin x = ±8 cos x,
а в конце проверим выполнение условий: sin x > 0 и cos^2 x /= 1/8. Получим
tg x = ±8, x = n + arctg 8.
Если tg x = ±8, то tg^2 x + 1 = 9 и cos^2 x = 1/9 /= 1/8. Чтобы проверить выполнение условия sin x > 0, рассмотрим два случая.
Если n = 2k, то x = 2k ± arctg 8. Это — углы, лежащие в первой и четвертой четвертях; условие sin x > 0 выполняется лишь для тех из них, которые лежат в первой четверти: x1 = 2k + arctg 8.
Если n = 2k + 1, то x = 2k + ± arctg 8. Здесь нужно выбрать знак минус, так как только тогда мы получаем угол, лежащий во второй четверти.
Ответ. 2k + arctg 8; (2k + 1) - arctg 8.
16.9. Данное уравнение эквивалентно такому:
( 1/2 )x = 4k + 1/20.
Так как x > 0, то ( 1/2 )x заключено между нулем и единицей. Следовательно, 0 < 4k + 1/20 < 1, откуда 0 <= k <= 4.
Для каждого из этих k находим соответствующее значение x.
Ответ. log2 20/4k + 1, где k = 0, 1, 2, 3, 4.
16.10. Решаем квадратное уравнение
Стоящее под корнем выражение неотрицательно, если -1 - 5 <= m <= -1 + 5.
Делаем следующий шаг:
Когда перед корнем взят минус, то стоящее справа положительное выражение не превзойдет единицы, а потому может быть косинусом. Когда перед корнем поставлен плюс, нужно, чтобы
После возведения в квадрат, учитывая полученные вначале ограничения для m, придем к системе
y которой два интервала решений:
– 1 - 5 <= m <= -3, 1 <= m <= -1 + 5.
Ответ. При -1 - 5 <= m <= -1 + 5, x = 2n ± arccos A,
при -1 - 5 <= m <= -3 и 1 <= m <= -1 + 5, x = 2n ± arccos B, где