Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы, Ваховский Евгений Борисович

Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

на обложку

Ваховский Евгений Борисович

Шрифт:

которое равносильно исходному. В самом деле, замена sin x и cos x их выражениями через tg x/2 может привести к потере решений, так как tg x/2 перестает существовать в тех точках, в которых sin x и cos x существуют Однако tg x/2 входит в первоначальное неравенство,

а потому эти точки исключены с самого начала. Сокращение числителя и знаменателя на y^2 + 1, очевидно, не приводит ни к потере, ни к приобретению корней, так как y^2 + 1 /= 0 и y не исчез полностью из неравенства.

Неравенство относительно y перепишем в виде

После разложения левой части на множители получим

откуда

Находим интервалы изменения x:

Остается выделить решения, лежащие в интервале 0 < x < .

Ответ.

14.15. Выразив sin 3 и cos 2 через sin и обозначив sin = y, получим

4(3y– 4у^3) + 5 >= 4 - 8у^2 + 5у,

или

16у^3 - 8у^2 - 7у– 1 <= 0.

Нетрудно заметить, что y = 1 — корень многочлена, стоящего в левой части неравенства. Теперь можно разложить этот многочлен на множители:

16у^3 - 8у^2 - 7у– 1 = (y– 1)(4у + 1)^2.

Так как y = sin , то y– 1 <= 0, а следовательно, и многочлен 16у^3 - 8у^2 - 7y– 1 неположителен, что доказывает неравенство.

14.16. Значения x = k, при которых sin x = 0, являются решениями неравенства при всех а > 0. На множестве остальных точек данное неравенство равносильно такому:

Так как

(сокращение на sin x правомерно, так как рассматриваются точки, в которых sin x /= 0), то приходим к неравенству:

(1 + 2cos 2x)^2 >= а^2.

Так как а > 0, то это неравенство распадается на два:

1 + 2cos 2x <= -а, 1 + 2cos 2x >= а,

т. е.

cos 2x <= -a + 1/2, cos 2x >= a - 1/2.

Первое

имеет решения при - a + 1/2 >= -1, а второе — при a– 1/2 <= 1 или соответственно а <= 1 и а <= 3.

Найдем решение неравенства cos 2x <= -a + 1/2. Так как а > 0, то правая часть неравенства отрицательна и при а < 1 ему будут удовлетворять углы 2x, подвижные радиусы которых лежат в секторе, расположенном во второй и третьей четвертях симметрично горизонтальной оси (сделайте рисунок самостоятельно), т. е.

arccos (-a + 1/2) + 2k <= 2x <= -arccos (-a + 1/2) + 2 + 2k.

Так как arccos (-y) = - arccos y, то

- arccos a + 1/2 + 2k <= 2x <= arccos a + 1/2– + 2 + 2k.

Результат окончательных преобразований дан в ответе.

Ответ. При любом а > 0 y неравенства есть решения x = k; при 0 < а <= 3 появляется вторая серия решений:

– 1/2 arccos a– 1/2 + k <= x <= 1/2 arccos a– 1/2 + k;

при 0 < а <= 1 — третья серия:

– 1/2 arccos a + 1/2 + /2(2k + 1) <= x <= 1/2 arccos a + 1/2 + /2(2k + 1).

14.17. Обозначим cos t = z и преобразуем условие задачи в неравенство

2z^2 + (2 cos x cos y)z + 1/2 cos^2 x cos^2 y + cos x– cos y > 0,

которое должно удовлетворяться при всех -1 <= z <= 1. Парабола, соответствующая трехчлену, стоящему в левой части неравенства, имеет абсциссу

z0 = - 1/2 cos x cos y.

Следовательно, -1 < z0 < 1. Таким образом, условие задачи равносильно требованию, чтобы ордината этой вершины была положительна, что в свою очередь сводится к требованию отрицательности дискриминанта: