Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы, Ваховский Евгений Борисович

Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

на обложку

Ваховский Евгений Борисович

Шрифт:

Решение каждой из них изображено на рис. P. 14.3.

Способ 2. Запишем данное неравенство так:

При использовании этих формул мы исключили из области существования левой части неравенства точки, в которых tg x/2 не существует. Поэтому нужно подставить в исходное неравенство x = (2n + 1).

Убеждаемся, что

sin (2n + 1) - 3 cos (2n + 1) = 3,

т. е. эти точки не являются корнями неравенства.

Приходим к квадратному неравенству

3 tg^2 x/2 + 2 tg x/2– 3 < 0,

откуда

Наиболее компактный ответ получается при решении неравенства первым способом.

Ответ. arctg 3 + (2n + 1) < x < arctg 3 + 2n.

14.4. Поскольку tg x входит в правую часть данного неравенства, замена sin 2x и cos 2x их выражениями через tg x приведет к равносильному неравенству. Обозначив tg x = y, получим

Так как 1 + y^2 > 0, то это неравенство равносильно такому:

y^3 + 2y^2 - y– 2 < 0.

Сгруппировав первый член с третьим, а второй с четвертым, разложим левую часть на множители:

(y + 2)(y + 1)(y– 1) < 0.

Решения этого неравенства будут лежать в интервалах

y < -2, -1 < y < 1,

т. е.

tg x < - 2, -1 < tg x < 1.

Ответ.– /2 + n < x < -arctg 2 + n; -/4 + n < x < /4 + n.

14.5. Способ 1. Неравенство равносильно совокупности двух систем

Начнем со второго неравенства. При решении обеих систем нам понадобятся радиусы, на которых tg 2x = 0 и tg 2x не существует, так как только в этих точках может произойти перемена знака.

Эти радиусы нанесены на рис. P.14.5, а и б, причем на первом горизонтальной штриховкой заштрихованы те секторы, где tg 2x < 0, а на втором — остальные секторы круга. Остается в первом случае выбрать секторы, в которых cos x >= 0, а во втором — в которых cos x <= 0.

Нанесем решения данного неравенства на общий чертеж (рис. P.14.5, в), после чего можно записать ответ.

Способ 2. Воспользуемся формулой тангенса двойного угла и перепишем неравенство в виде

Формула, которую

мы применили, является неабсолютным тождеством, так как в результате ее использования из области определения левой части неравенства исчезают значения x, при которых cos x = 0. Непосредственной подстановкой в исходное неравенство убеждаемся, что x = /2 + k — его корни. Отметив соответствующие радиусы на чертеже (рис. P.14.5, г), можем считать, что cos x /= 0, и решать неравенство

Когда sin x >= 0, то получим tg x < -1, tg x > 1 (рис. P.14.5, д), а когда sin x <= 0, то -1 < tg x < 1 (рис. P.14.5, e). Объединяя все решения на одном чертеже (не забывайте про рис. P.14,5, г), запишем окончательный ответ (см. рис. P.14.5, в).

Ответ. /4 + 2n < x < 3/4 + 2n; + 2n <= x < 5/4 + 2n; 7/4 + 2n < x <= 2(n + 1); x = (4n– 1)/2.