Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

Составим разности:

b– с = d(n– p), с– а = d(p– m), а– b = d(m– n).

Подставим в левую часть равенства, которое нужно доказать:

После несложных преобразований получим в обоих показателях нули, что и доказывает равенство произведения единице.

19.4. Перейдем в

левой части равенства к общему основанию x и сделаем некоторые упрощения:

В последнем равенстве мы воспользовались тем, что ^b/_a = ^c/_b = q — знаменателю прогрессии, а также тем, что 

19.5. Имеем

Ответ.

19.6. Преобразуем выражение, стоящее под знаком квадратного корня:

После извлечения квадратного корня получим

19.7. Из условия следует, что

а следовательно, (а₁– a₃)^2 = 0, а₁ = а₃. Поскольку

, то а₂ = а₁. Таким образом, а₁ = а₂ = а₃. Решим теперь систему уравнений

Первое уравнение можно последовательно преобразовать:

Подставив найденное значение x во второе уравнение системы, получим

Теперь можно найти x:

x = -2 log₂ y = 1/2 log₂ 5.

Ответ.

19.8. Пусть q — знаменатель прогрессии. Тогда по теореме Виета

x₁(1 + q) = 3, x₁q^2(1 + q) = 12, x₁^2q = A, x₁^2q⁵ = B.

Из первых двух уравнений (подстановкой первого во второе) находим q^2 = 4.

Так как последовательность по условию является возрастающей, то q = 2,

откуда x₁ = 1, что не противоречит тому, что прогрессия возрастающая.

Из двух вторых уравнений определяем А и В.

Ответ. А = 2, В = 32.

19.9. Пусть x₂ = x₁q, x₃ = x₁q^2. Тогда по теореме Виета, примененной к данному уравнению, имеем

x₁ + x₁q + x₁q^2 = 7, x₁^2q + x₁^2q^2 + x₁^2q^3 = 14.

Из первого уравнения получим x₁(1 + q + q^2) = 7. Это позволяет следующим образом преобразовать левую часть второго уравнения:

x₁^2q(1 + q + q^2) = 7x₁q,

откуда x₁ = ²/_q. Подставим выражение для x₁ в первое уравнение, получим

^{2(1 + q + q^2)}/_q = 7, т. е. 2q^2 - 5q + 2 = 0,

откуда

q₁ = 1/2 , q₂ = 2.

Теперь для каждого из этих двух значений q можно найти x₁. При q = 1 получим, что x₁ = 4, т. е. прогрессия убывающая. Во втором случае при q = 2 имеем x₁ = 1, и прогрессия — возрастающая.

Ответ. 1, 2, 4.

19.10. Из условия следует, что

Произведение n первых членов прогрессии равно

Ответ. 2.

19.11. Пусть а — цифра сотен, d — разность прогрессии. Искомое число делится на пять, если его последняя цифра либо 0, либо 5, т. е. либо а + 2d = 0, либо а + 2d = 5. Чтобы число делилось на девять, сумма его цифр должна делиться на девять. Но поскольку сумма трех цифр может изменяться от нуля до двадцати семи, имеются три возможности:

а + (а + d) + (а + 2d) = 9; 18; 27.

Последнюю возможность отбрасываем, так как число 999 не делится на пять.

Пусть а + 2d = 0. Если а + d = 3, то d = -3, а = 6. Получим число 630. Если а + d = 6, то d = -6, а = 12, что невозможно.