Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы, Ваховский Евгений Борисович

Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

на обложку

Ваховский Евгений Борисович

Шрифт:

21.4. Предположим, что в каждое число входят три различные единицы: l1, l2, l3, а остальные цифры 0, 2, 3, 4 и 5 равноправны. Тогда можно получить Р8 различных чисел. Отсюда нужно исключить Р7 чисел, начинающихся с нуля.

На самом деле разные единицы неразличимы. Другими словами, вместо одного числа мы получим Р3 одинаковых чисел, отличающихся лишь взаимными перестановками единиц.

Ответ.

21.5.

Предположим, что каюты неравноценны. Это дает в 8! раз больше вариантов, чем в случае равноценных кают, что мы учтем позднее.

В первую каюту можно заселить любых четырех из 32 экскурсантов, что можно сделать

способами, во вторую — любых четырех из 28 оставшихся и т. д. В итоге получим

способов. Это число остается разделить на 8! и произвести упрощения.

Ответ.

21.6. Рассмотрим k– й член суммы

Данную сумму можно переписать в виде

Ответ. n · 2n– 1.

21.7. Из разложения

выделим действительную часть и приравняем действительной части комплексного числа (1 + i)n. В самом деле,

т. е.

где n– 1 <= 2k <= n.

Последнее ограничение означает, что через 2k обозначено то из чисел n– 1 и n, которое является четным.

Ответ.

21.8. Условию задачи удовлетворяют такие n, для которых равенство

выполняется хотя бы для одного k. Заметим, что 1 <= k <= n– 1; n >= 2. Равенство (1) перепишем в виде

что после простых преобразований даст

4k^2 - 4nk + п^2 - n– 2 = 0,

откуда

Чтобы выражение в правой части было целым, нужно сначала потребовать

n + 2 = m^2, т. е. n = m^2 - 2.

Поскольку n >= 2, то т^2 >= 4 и m >= 2. Тогда

Если взять знак минус, получим

Число,

стоящее в числителе, четное при всех m. Значение m = 2 нужно исключить, так как тогда k1 = 0, что невозможно. Если же m >= 3, то m + 1 >= 4, а m– 2 >= 1. Следовательно, k1 >= 2. Потребуем теперь, чтобы выполнялось второе условие: k1 <= n– 1, т. е.

что равносильно неравенству m^2 + m– 4 >= 0. Последнее неравенство справедливо при всех m >= 3.

Остается исследовать

Так как условие n >= 2, из которого следует, что m >= 2, должно выполняться и для k2, то формула (3) по сравнению с (2) может дать лишь одно дополнительное значение: m = 2. Однако при m = 2 получим, что k2 = 2 и n = 2. Это противоречит требованию k <= n– 1. Таким образом, формула (3) не дает новых значений m, а следовательно, и n.

Ответ. n = m^2 - 2, где m = 3, 4, 5, ... .

21.9. Так как

(a + b + c + d)n = [(a + b) + (c + d)]n = (a + b)n + Cn1(a + b)n– 1(c + d) + ... + (c + d)n,

то после раскрытия скобок получим все неподобные члены. Их число будет равно

(n + 1) · 1 + n · 2 + (n– 1) · 3 + ... + 2n + 1(n + 1),

где для симметрии к крайним членам приписаны множителями единицы. Чтобы вычислить эту сумму, запишем ее k– й член: (n + 2 - k) = (n + 2)k– k^2. Тогда наша сумма примет вид