Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

Для d₂ <= d₁ получим

При натуральном m разность 11m– 3 положительна, а так как а > 0, то 4 - m > 0 или m < 4. Каждому из трех возможных значений m = 1, 2, 3 будет соответствовать свое значение а = ³/₈, ²/₁₉, ¹/₃₀.

Ответ. ¹/₃₀, ²/₁₉, ³/₈, ⁷/₅, ¹¹/₂.

Глава 20

Суммирование

20.1.

Докажем, что

S = 1/2 + ... + ¹/_n^2 < 1.

Так как

¹/_{(1 + k)^2} < ¹/_{k(1 + k)},

то

При доказательстве мы воспользовались тем, что

¹/_{(n– 1)n} = ¹/_{n– 1}– ¹/_n.

Такой прием часто применяется и называется разложением дроби на простейшие.

20.2. Так как

то

Ответ. ^{n– 1}/_d^2n.

20.3. Представим k– e слагаемое в виде

Тогда

Ответ.

20.4. Левую часть данного равенства перепишем в виде

воспользовавшись для этого формулой суммы членов геометрической прогрессии. Тогда (поскольку а /= 1)

Правая часть может быть записана так:

Итак,

По условию а /= 0, 1, -1. Это позволяет найти нужную нам зависимость.

Ответ. n + 1 = 2^{k + 1}.

20.5. Расположим коэффициенты данного многочлена слева направо и разместим под ними коэффициенты того же многочлена, расположенные в обратном порядке,

Теперь можно выписать коэффициент при xⁿ, составив сумму попарных произведений расположенных один под другим множителей:

1 · n + 1(n– 1) + 2(n– 2) + 3(n– 3) + ... + (n– 1)1 + n · 1.

Эту сумму можно преобразовать так:

Каждую из сумм, стоящих в скобках, легко подсчитать:

Таким образом, искомый коэффициент равен

Ответ.

20.6.

Неравенство равносильно системе (в левой его части — абсолютная величина суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем — 2x):

Из второго неравенства следует, что -1 < 2x < 1, т. е. 1 + 2x > 0. Поэтому первое неравенство можно переписать в виде

^|x|/_{1 + 2x} < 1, или |x| < 1 + 2x.

Таким образом, приходим к системе

которая равносильна совокупности двух систем

Ответ.– 1/3 < x < 1/2 .

20.7. Так как k · k! = (k + 1)!
– k!, то

2!
– 1! + 3!
– 2! + 4!
– 3! + ... + (n + 1)!
– n! = (n + 1)!
– 1.

Ответ. (n + 1)!
– 1.

20.8. Домножим S_n на x^2:

x^2S_n = x^3 + 4x⁵ + 7x⁷ + ... + (3n– 2)x^{2n + 1},

и вычтем полученное выражение из S_n:

Ответ.

 

20.9. Рассмотрим тождество [22]

(x + 1)⁵ = x⁵ + 5x⁴ + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1.

Положим в нем последовательно x = 1, 2, ..., n и сложим n полученных равенств:

22

Формулы для  и т. п. доказываются аналогично с помощью тождеств: (x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1, (x + 1)⁴ = x⁴ + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1.

2⁵ + 3⁵ + ... + (n + 1)⁵ = 1 + 2⁵ + 3⁵ + .. + n⁵ + 5(1⁴ + 2⁴ + ... + n⁴) + 10(1^3 + 2^3 + ... + n^3) + 10(1^2 + 2^2 + ... + n^2) + 5(1 + 2 + ... + n) + n.

После приведения подобных получим

откуда

Так как