Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
построить график функции, стоящей в левой части равенства, и рассмотреть поведение относительно этого графика прямой у = а(x + 5) + 4 при разных значениях а.
9.36. Обе части нужно возвести в квадрат. Чтобы обеспечить равносильность, в системе с полученным уравнением придется решать неравенство 4x^2 - 3аx >= 0. При этом выражение под вторым радикалом автоматически будет неотрицательным.
В задачах с параметрами, как правило, нарушать равносильность нецелесообразно. Рассуждения, связанные с ОДЗ, не дают строгого решения.
9.37. x = 0 —
9.38. Это система однородных уравнений, и она решается стандартной подстановкой x + у = u, xу = v.
K главе 10
10.1. Из условия а + b = 2 следует, что числа а и b расположены симметрично относительно единицы. Использовать этот факт.
10.2. Условие а1а2...аn = 1 можно использовать при преобразовании левой части неравенства, умножая или деля ее на произведение а1а2...аn. Поскольку число множителей 1 + аi совпадает с показателем степени в правой части неравенства и все множители равноправны, то следует доказать, что каждый из них не меньше двух.
10.3. Способ 1. Поделить данное в условии равенство а + b = с почленно на с 1/3 .
Способ 2. Доказать эквивалентное неравенство:
10.4. Избавиться от дробей и использовать условие 0 <= x <= 1. Это условие обеспечивает выполнение таких неравенств, как xk + 1 <= xk, 1 - xk >= 0 при любом натуральном k. (!)
10.5. Оценить каждый корень с помощью неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим двух чисел, взяв в качестве первого числа подкоренное выражение, а в качестве второго единицу.
10.6. Предположить, что b <= а, и оценить левую часть данного неравенства, заменив b на а. (!)
10.7. Если бы между правой и левой частями стоял знак равенства, то мы имели бы производную пропорцию от
10.8. Воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим двух чисел.
10.9. Способ 1. Если обозначить три положительных слагаемых в левой
Способ 2. Если u, v и w — положительные числа, причем w — наименьшее, то u > w, v > w. Неравенство v > w можно умножить на положительное число u– w и полученное неравенство разделить почленно на uw.
Способ 3. Если с < b < а, то можно записать, что b = с + d1, а = b + d2, где d1 и d2 — положительные числа. Подставьте в левую часть неравенства вместо а и b их выражения с + d1 и b + d2— соответственно.
10.10. Преобразования удобно начать с записи S по формуле Герона. Величину S нужно оценить так, чтобы прийти к выражению, симметричному относительно а, b и с. Поскольку из четырех множителей p, p– а, p– b, p– с первый удовлетворяет этому требованию (2р = а + b + с), следует подвергнуть преобразованиям три других множителя. При этом полезно обратить внимание на то обстоятельство, что их сумма равна p:
p– а + p– b + p– с = 3р– (а + b + с) = p.
10.11. Если перемножить крайние и средние скобки, то получатся два трехчлена, отличающиеся только свободным членом. Это позволяет оценить левую часть, выделив квадрат трехчлена, свободный член которого находится посередине между свободными членами первого и второго трехчленов. (!)