Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
13.4. Если преобразовать в сумму произведение синусов двух функций и произведение косинусов этих же функций, то получим сопряженные выражения. Поэтому целесообразно заменить тангенсы через синусы и косинусы соответствующих аргументов.
13.5. Если записать 1/tg x вместо ctg x, то после простых преобразований (следите за их равносильностью) придем к распадающемуся уравнению.
13.6. Прибавить к левой и правой частям уравнения tg 3x. Тогда слева можно
13.7. Нетрудно заметить, что множитель sin (x + /4) можно вынести в левой части уравнения за скобки, так как он получается при преобразовании суммы sin x + cos x в произведение.
13.8. Перенести tg 2x в правую часть и привести обе части уравнения к виду, удобному для логарифмирования.
13.9. Избавиться от иррациональностей с помощью перехода под радикалами к функциям половинного аргумента. Использовать условие, что 0 < x < 2, и постараться раскрыть знаки абсолютной величины.
13.10. Перенести sin в левую часть и привести полученную сумму к виду, удобному для логарифмирования. Стоящий в правой части sin x выразить через функции половинного аргумента.
13.11. Рассмотреть случаи, позволяющие раскрыть знаки абсолютной величины; задача сведется к решению двух уравнений и к выбору тех значений x, которые попадают в указанный интервал.
13.12. Вначале следует посмотреть, не стоит ли под радикалом полный квадрат какого-то выражения. Число 16 нам, скорее всего, не помешает, а вот число 17 менее удобно для последующих преобразований. Чтобы освободиться от его присутствия, удобно вынести под радикалом sec^2 x за скобки, а оставшееся в скобках выражение записать через sin x.
13.13. Перенести все члены уравнения в левую часть и разложить на множители с тем, чтобы появилась возможность избавиться от большинства радикалов.
13.14. Выразить sin 4x через tg 2x. Это тождество условное, поэтому нужно убедиться в равносильности полученного уравнения данному.
13.15. Перейти к функциям sin x и cos x.
13.16. Правую часть уравнения можно сократить на cos 2x, добавив условие cos 2x /= 0.
13.17. С помощью универсальной подстановки (через тангенс половинного угла) это уравнение может быть сведено к кубичному уравнению относительно у = tg x/2. Равносильное ли получится уравнение?
13.18. Понизить степень.
13.19. Левую и правую части можно привести к виду, удобному для логарифмирования.
13.20. Уравнение упростится, если преобразовать произведения, стоящие в левой его части, в разность косинусов. Оно станет квадратным относительно у = cos x. (!)
13.21.
13.22. Раскрыть скобки и каждое из ста произведений преобразовать в сумму. (!)
13.23. Каждое произведение преобразовать в разность косинусов. (!)
13.24. Выразить cos 4x + 1 через cos 2x.
13.25. Произведение косинусов может равняться единице, если либо оба косинуса равны единице, либо оба равны минус единице.
13.26. Представить единицу в виде sin^2 x + cos^2 x.
13.27. Уравнение таково, что не остается надежд на упрощения в результате тригонометрических преобразований. Поэтому следует попытаться воспользоваться оценками. Во-первых, выражение, стоящее в левой части, всегда неотрицательно, кроме того, cos4 x >= 0; следовательно, и cos 3x >= 0. Во-вторых, слева стоит сумма квадратов, которую разумно дополнить до полного квадрата.
13.28. Обратить внимание на то обстоятельство, что левая часть уравнения не может стать меньше единицы, а правая не может превзойти единицу.
13.29. Второе уравнение легко свести к виду sin (2x– у) = 0, откуда у = 2x– k. При подстановке в первое уравнение получим
4 tg 3x = 3 tg 4x.
Это уравнение удобнее преобразовать к виду
4(tg 4x– tg 3x) = tg 4x,
чем к виду
3(tg 4x– tg 3x) = tg 3x,
так как множитель 4 удобнее при тригонометрических преобразованиях.
13.30. Второе уравнение легко решается преобразованием его левой части в разность косинусов; в результате получится соотношение 2у = /2– x + k. Прежде чем им воспользоваться, следует первое уравнение привести к виду, удобному для логарифмирования.
13.31. Левые части первого и второго уравнений нетрудно выразить через u = sin x и v = sin у.
13.32. Второе уравнение существенно упростится, если его левую часть преобразовать в сумму.
13.33. Из системы можно исключить x, если воспользоваться основным тригонометрическим тождеством
sin^2 + cos^2 = 1.
13.34. Нужно вначале решить первое уравнение, решение которого находится обычным путем. Найденное значение подставить во второе уравнение.