Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

2.2. Сколько решений имеет задача?

2.3. Точки А и А₁ лежат на прямой, параллельной BC и отстоящей от BC на расстоянии h_а. Нужно найти еще одно свойство любой из этих точек; в этом должен помочь угол .

Отразив треугольник СА₁А от оси А₁А, получим треугольник С₁А₁А (рисунок

сделайте самостоятельно). Фигура С₁АВА₁ — параллелограмм, у которого вершины С₁ и В фиксированы, углы известны, а две другие вершины нужно построить.

2.4. Зная R и b, можно построить треугольник АОF (рис. II.2.4). Остается использовать медиану m_с. Чтобы это сделать, нужно, после того как построен треугольник АОF, построить середину отрезка AB.

2.5. Докажите, что точка Q лежит на окружности, описанной около треугольника АВС. Для этого достаточно вычислить угол ВО₁С.

2.6. Предположим, что точки D и E найдены (рис. II.2.6). Если через любую точку F, лежащую на AB, провести прямую FG, параллельную DЕ и пересекающую АЕ в точке G, а через точку G — прямую GH, параллельную ЕС, то получим четырехугольник AFGH, подобный АDЕС, с центром подобия в точке А.

2.7. «Средним» будет такое положение прямой FЕ, когда FM = ME.

2.8. В треугольнике А₁АА₂ известны основание и высота. Третий элемент этого треугольника можно найти, если использовать данный в условии угол А треугольника АВС, через который легко выразить угол А₁АА₂.

2.9. Если взять любой из треугольников, образовавшихся при вершине P (рис. 11.2.9), то начало для построения ломаной, составленной из АР, ВР и СР, уже есть. Однако просто пристроить недостающее звено нельзя, так как последняя вершина такой ломаной не будет закреплена, а потому не позволит решить задачу.

На помощь приходит свойство правильного треугольника: поверните треугольник АВР на 60° вокруг точки А и вы получите ломаную В₁Р₁РС, равную сумме отрезков АР, ВР и СР. При этом точка В₁ однозначно определяется видом треугольника АВС.

2.10. Чтобы построить

точку С, достаточно знать длину отрезка СЕ или длину отрезка DЕ = СЕ– l. Задача сводится к вычислению и построению отрезка DЕ.

2.11. Вершина С лежит, с одной стороны, на окружности радиусом b с центром в точке В, а с другой стороны, на прямой, параллельной АD, которую нетрудно построить.

2.12. Остается построить треугольник ОМС по трем сторонам: СМ = АО = R, ОС = 2R, ОМ известно, так как точки О и M даны.

2.13. Треугольник ОО₁E, где О₁E AB, а точка E лежит на ОС, легко построить, зная О₁Е = ^a/₂.

2.14. Точки M и N лежат на окружности, концентрической данной.

2.15. Отрезок РQ перенести параллельно в отрезок В₁В и рассмотреть угол АРВ₁.

2.16. Чтобы построить параллелограмм FBDE на его диагонали, нужно найти еще одну связь между вершинами F и D и данными элементами. Заметим, что точка А еще никак не участвовала в построениях. Если соединить ее с точкой F то получим угол АFЕ, который известен, так как выражается через угол АСВ.

2.18. Воспользоваться тем, что высоты в треугольнике пересекаются в одной точке.

2.19. Провести прямую через точку С и данную точку M и найти точку ее пересечения с данным диаметром или его продолжением.

2.20. Если одну из точек, например А, отразим симметрично от прямой l (рис. II.2.20), то получим точку А₁ причем решение аналогичной задачи для точек A₁ и В совпадет с решением первоначальной задачи. Легко заметить, что величина |A₁C– BC| не может превзойти длины отрезка A₁B. Но может ли она ее достигнуть?

2.21. Такая связь есть (рис. II.2.21). Точки E и F пересечения диагонали квадрата с окружностями, построенными на противоположных сторонах данного четырехугольника как на диаметрах, делят соответствующие дуги пополам.

2.22. Выбрав произвольно длину отрезка 1, построим соответствующий ему отрезок длины 7. Теперь, зная отрезки 1 и 7, найдем отрезок x = 7, воспользовавшись подобием соответствующих треугольников: 7 : x = 1 : 7 .