Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
19.5. Если бы сумма состояла из одних девяток, то каждый член можно было бы представить в виде 10k– 1.
19.6. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, умножить и разделить на 9. Число, состоящее из k девяток, равно 10k– 1.
19.7. Условия задачи можно записать в виде а1 + а3 = 2а2, а1а3 = а2^2 .
19.8. Удобно ввести знаменатель прогрессии q и с его помощью записать теорему Виета для обоих уравнений. Это позволит определить q и x1. (!)
19.9. Так как корни уравнения образуют геометрическую прогрессию, то x2 = x1q, x3 = x1q^2. Воспользуйтесь теоремой Виета для уравнения третьей степени.
19.10. Если приравнять выражения для удвоенной суммы n членов прогрессии и суммы всех ее членов, то получим уравнение относительно qn.
19.11. Так как число делится на 45, то оно может оканчиваться либо нулем, либо пятью. Рассмотреть эти два случая.
19.12. Если обозначить через x цифру единиц, а через q — знаменатель прогрессии, то легко составить два уравнения, отражающих условия задачи. Однако можно пойти по другому пути: поскольку цифры числа образуют геометрическую прогрессию и само число больше 594, то в нашем распоряжении только три возможности: 931, 842 и 964. (!)
19.13. Всю работу следует принять за единицу. Чтобы использовать условия задачи, нужно знать производительность одного комбайна. Однако нам неизвестно, сколько часов перед завершением работы по плану все комбайны работали вместе. Поскольку удобнее вводить одноименные неизвестные, то эту величину обозначим через y, а через x обозначим количество часов, необходимых одному комбайну, чтобы убрать весь урожай. Тогда производительность комбайна будет равна 1/x.
19.14. Пусть братьям а, аq и аq^2 лет. Если младший получит x рублей, то остальные два получат xq и xq^2 рублей. Условия задачи позволяют составить три уравнения.
19.15. После того как числа, о которых говорится в задаче, будут обозначены буквами а, b и с и условия задачи будут переведены на математический язык, мы получим два уравнения с тремя неизвестными. Достаточно ли этого, чтобы решить задачу?
19.16. Воспользоваться методом
19.17. Решив данное тригонометрическое уравнение, получим две серии углов, каждая из которых является арифметической прогрессией с известной разностью и первым членом, равным нулю. В каком случае две арифметические прогрессии могут быть объединены в одну?
K главе 20
20.1. Данное неравенство эквивалентно такому:
1/2^2 + ... + 1/n^2 < 1.
Оценить каждое слагаемое так, чтобы легко было оценить всю сумму, стоящую слева.
20.2. Домножить все члены на d.
20.3. Чтобы разложить дробь
20.4. Слева стоит сумма членов геометрической прогрессии.
20.5. Выписать все коэффициенты многочлена 1 + x + 2x^2 + ... + nxn и под ними написать коэффициенты того же многочлена, записанные в обратном порядке. Рассмотреть сумму произведений стоящих друг под другом чисел.
20.6. В левой части неравенства стоит абсолютная величина суммы членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем -2x.
20.7. Каждое слагаемое k · k! можно представить в виде (k + 1)k!
– k(k– 1)!. При этом следует иметь в виду, что 0! = 1. (!)
20.8. Коэффициенты в правой части образуют арифметическую прогрессию с разностью 3. Если домножить Sn на x^2, то справа получим сумму, все члены которой, кроме крайних, имеют коэффициент, отличающийся от подобного коэффициента Sn на 3.
20.9. Рассмотреть тождество
(x + 1)5 = x5 + 5x4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1
и положить в нем последовательно x = 1, 2, ..., n.
20.10. В n– й группе n членов. Рассмотрите отдельно случаи, когда n четное и n нечетное.