Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
8.13. Записать x4 + 1 в виде произведения квадратных трехчленов с неопределенными коэффициентами, раскрыть скобки и воспользоваться условием равенства двух многочленов.
8.14. Многочлен делится на у^3, если его свободный член и коэффициенты при у и у^2 равны нулю.
8.15. Воспользоваться условием тождественного равенства двух многочленов.
K главе 9
9.3. Один способ — дополнить левую часть до полного квадрата, второй — обозначить второе слагаемое через u^2
9.4. При возведении в куб воспользоваться формулой куба суммы в виде (а + b)^3 = а^3 + b^3 + 3аb(а + b). Выражение а + b заменить правой частью данного уравнения.
9.6. Если ввести новое неизвестное p = u + v, то с помощью уравнения u– v = 1 можно через p выразить как u, так и v. Это поможет решить второе уравнение системы.
9.7. Из системы, полученной в результате замены, исключить свободные члены. Это приведет к уравнению, левую часть которого легко разложить на множители.
9.8. В качестве вспомогательного неизвестного удобно выбрать
9.9. Найти x и сделать проверку. Обратить внимание на то обстоятельство, что разность, стоящая в левой части данного уравнения, всегда положительна.
9.10. Второй путь удобнее, так как не приходится решать неравенство с параметром , что значительно упрощает исследование.
9.14. Первое уравнение задает квадрат с центром в начале координат и с диагоналями, равными по длине 2, расположенными на координатных осях.
9.15. Ввести новые неизвестные: x + 1/x = u, у + 1/y = v.
9.16. В первое и второе уравнения входит разность у– z. Ее-то и следует исключить из этих уравнений.
9.17. Сумму x4 + у4 в третьем уравнении удобно выразить через x^2 + у^2 и xу. В результате придем к уравнению относительно z.
9.18. Уравнение x + у = 1 - z позволит также упростить выражение, оказавшееся в скобках после того, как в третьем уравнении был вынесен за скобку множитель 1 - z.
9.19. Поскольку а, b и с — корни многочлена M(t), его можно записать в виде M(t) = (t– а)(t– b)(t– с).
9.20. Умножить первое уравнение на xу^2z^2, а второе на x^2уz^2. Будет ли нарушена при этом равносильность?
9.22. Умножить первое уравнение на z и вычесть из второго. Аналогично поступить со вторым и третьим уравнениями.
9.23. Возвести первое уравнение в квадрат и вычесть его из второго. Из полученного уравнения исключить z, воспользовавшись сначала третьим, а затем первым уравнениями. (!!)
Чтобы осуществить эту операцию, первое уравнение нужно предварительно умножить на у.
9.24. Почленно сложить каждые два уравнения: первое и второе, первое и третье, второе и третье. Из найденной системы получить уравнение относительно u = xyz. (!!)
Чтобы получить уравнение относительно u = xyz, достаточно перемножить полученные уравнения.
9.25. Каждое уравнение — квадратное относительно соответствующего xk. Решив все эти квадратные уравнения и сложив их решения, мы получим уравнение относительно s. Гарантировать равносильность при этом нельзя, но в условии задачи требуется найти только одно решение.
9.26. Если обозначить 7x– 11у = u, то отсюда можно выразить z через u и у. Таким образом, мы получим снова систему двух уравнений с двумя неизвестными. Из этой системы легко исключить у.
9.27. Из такой системы можно исключить у, одновременно избавляясь от иррациональностей: нужно возвести оба уравнения в квадрат и вычесть второе из первого.
9.28. Выразить
9.29. Полученная после возведения в квадрат система уравнений позволяет легко определить u– v, а затем u и v. (!!)
При определении u и v и при последующем вычислении x и у нужно провести исследование. В результате будут использованы условия а > b > 0 и а + b < 1, а также введенные при возведении в квадрат ограничения x > 0, у > 0.