Сто лет недосказанности: Квантовая механика для всех в 25 эссе

Семихатов Алексей

Спин играет определяющую роль в устройстве Вселенной, потому что кванты любого поля с целым спином – бозоны, а с полуцелым – фермионы. Это опытный факт, но, знаменательным образом, одновременно и содержание теоремы, которую доказал Паули. Как мы видели в предыдущей главе, бозоны и фермионы определяются тем, как волновая функция одинаковых частиц откликается на их перестановку: если возникает лишний знак, то перед нами фермионы, а если нет, то бозоны. Для фермионов отсюда получается уже обсуждавшийся принцип запрета (сформулированный тем же Паули, но задолго до теоремы) – нетерпимость к себе подобным. А для бозонов, наоборот, определенная склонность к коллективизму: чем больше частиц уже находится в одном состоянии, тем охотнее (с большей вероятностью) к ним присоединяется еще одна. Теорема Паули привязывает характер массового поведения к спину.

Доказательство теоремы опирается на некоторые предположения: одно относится к математическим пространствам, связанным с квантовыми полями, в другом заявляется согласованность со специальной

теорией относительности; кроме того, имеется условие положительности энергии. Это важное условие: при наличии состояний с отрицательной энергией частицы не смогли бы противостоять искушению разрушить мир, переходя в них {117} . Теорему можно поэтому понимать примерно так: для того чтобы мир был устроен в целом нормально, волновая функция частиц с полуцелым спином должна приобретать лишний минус при перестановке {118} .

117

Можно вспомнить, что мы несколько раз говорили об отрицательной энергии двух частиц, испытывающих взаимное притяжение, но это было без учета очень большой положительной энергии, которая отвечает массе по формуле Эйнштейна.

118

И это не все! «Лишние» знаки минус проникают глубоко в структуру соответствующего квантового поля и обслуживающую его математику; в числе прочего меняются правила, по которым следует сравнивать результаты последовательного применения в разном порядке операций рождения и уничтожения, о которых шла речь в предыдущей главе. Получается, что в «приемлемо» устроенном мире – без отрицательных энергий и других патологий – квантовые поля с полуцелым спином должны управляться математическими правилами, представляющими собой остроумное «искажение» более наивных правил за счет появляющихся то тут, то там знаков минус (остроумное в первую очередь тем, что оно не приводит ни к каким противоречиям). Природа, похоже, состоит в тесном сговоре с математикой: та позволяет как раз столько, сколько требуется для физической осмысленности квантовых полей с полуцелым спином. Кстати, колебательные системы, существование которых обеспечивается операциями с внедренными в них «лишними» знаками минус, получаются довольно своеобразными: из всей лестницы разрешенных значений энергии остается только первая ступенька (не считая «вакуумной» – состояния, из которого никакой энергии забрать уже нельзя). Такая скудость не должна нас удивлять, потому что вторая ступенька означала бы вторую частицу наряду с первой и по необходимости в том же самом состоянии (поскольку они отвечают одной и той же элементарной колебательной системе), а как раз этого фермионам и нельзя. Правда, из-за того, что в поле содержится бесконечно много колебательных систем, в совокупности возникает достойное изобилие состояний.

Роли, которые играют бозоны и фермионы, в природе разделены. Все частицы/поля, служащие переносчиками взаимодействия («курьерами») – это коллективисты-бозоны. А «отправители» и «получатели», из которых сложена материя, – фермионы. Такое положение дел не предписано квантовой теорией поля напрямую, но оно имеет место в этой Вселенной. К фермионам относятся кварки и электроны (из которых сложено все вокруг нас и мы сами), более массивные родственники электронов – мюоны и тау, – а также нейтрино; фермионами по необходимости получаются и составленные из трех кварков протоны и нейтроны.

Сложенный из фермионов мир оказывается разнообразным из-за принципа Паули, который не позволяет фермионам, собранным вместе, находиться в одном и том же квантовом состоянии. Электроны в атомах не могут устраиваться в состояниях с более низкими энергиями, если те уже заняты другими электронами, а вынуждены селиться все «выше» по энергии, и поэтому по мере движения по клеткам таблицы Менделеева элементы демонстрируют меняющиеся химические свойства. Кое в чем похожая картина имеет место и для атомных ядер.

Однако полное придание осмысленности и бозонным (целые спины), и фермионным (полуцелые) квантовым полям было достигнуто далеко не сразу. Для начала проявила себя проблема нулевых колебаний: в вакуумном состоянии поля прячется неустранимая «остаточная» энергия колебательных систем. Неприятность тут в том, что эта энергия бесконечно велика по той простой причине, что в любом поле колебательных систем бесконечно много и каждая дает свой вклад.

«На полпути» к квантовой теории поля с той же проблемой столкнулся и Дирак: энергия моря электронов с отрицательной энергией неминуемо получалась бесконечной, и единственная надежда на осмысленность состояла в том, чтобы считать эту энергию ненаблюдаемой – находя опору в том обстоятельстве, что важны только различия в энергиях между состояниями. В квантовой теории поля удалось изгнать бессмысленную бесконечно большую энергию вакуума похожим образом, но «с соблюдением приличий»: не без некоторого изящества модифицировав математические правила обращения с квантовыми колебательными системами – а именно, со стоящими за ними операциями рождения и уничтожения.

Изменение математических правил, даже если оно допустимо само по себе, может, конечно, увести прочь от описываемых физических

явлений, но, судя по всему, сговор математики и физики так просто не разрушить. Несмотря на математическую эквилибристику, квантовая теория поля остается (а может быть, благодаря этой математической эквилибристике становится) адекватным описанием физического мира. Но здесь понадобилась неординарная изобретательность, потому что относительно безобидное избавление от бесконечной энергии вакуума было только началом.

Существенно более напряженный оборот дело приняло при описании взаимодействий полей. Проблема здесь – в сверхизобилии возможностей. Например, чтобы два электрона электрически отталкивались, им нужно «разговаривать» друг с другом; «языком», как уже говорилось, служит обмен фотонами. Но беда в том, что «слова» в этом языке «сами говорят» – производя новые слова, которые запутываются с другими в невероятно сложное многоголосие.

Вот что происходит. Каждый фотон, которым обмениваются два электрона, переносит между ними энергию и импульс, но в каком именно количестве, никак не фиксировано. Квантовая механика – ожидаемым образом! – предписывает сложить вклады всех возможностей {119} . Вклады эти – в величину, которая очень похожа на волновую функцию и которую я временно назову предвероятностью: ее квадрат дает собственно вероятность. Предвероятность чего именно? Если, например, нам интересно узнать, как электроны «повернут» в результате взаимодействия, мы начинаем с электронов с заданными импульсами, направленными хотя бы отчасти навстречу друг другу, и интересуемся предвероятностями, с которыми они получат определенные импульсы при разлете.

119

Мы видим здесь примечательную ситуацию, когда в самых недрах квантового мира нет никакого «квантования» в смысле нарезки энергии или импульса на порции. Электроны или/и позитроны, как и кванты других полей в схожих ситуациях, вольны обменяться любым количеством энергии и импульса, причем в любом направлении, от «первого» ко «второму» или, наоборот, от «второго» к «первому». Квантовая идеология предписывает суммировать (на практике – интегрировать) по всем возможностям, что лишает смысла обсуждение того, «какое количество передается на самом деле».

Забегая вперед: окажется, что два электрона отталкиваются друг от друга. Инерция мышления предлагает в таком случае воспринимать электроны как что-то вроде упругих шариков. Но на этом фундаментальном уровне нет не только шариков, но и упругости. Все привычные (да и непривычные) свойства возникают из подобных обменов фотонами. Возникают из них, а не описывают их. Правда, практическое получение результата в квантовой теории поля требует усилий и изобретательности. Проблема вот в чем.

Неплохое предсказание, как именно разлетятся в стороны собравшиеся было встретиться электроны, можно получить, учитывая обмен только одним фотоном. Неплохое, но не точное, потому что есть и другие возможности. Электроны могут, например, обменяться не одним фотоном, а двумя – и в этом случае опять-таки надо суммировать по всем значениям энергии и импульса, которые они переносят. Но это далеко не все! «Действующее законодательство», которое регулирует, как испускаются и поглощаются кванты-переносчики взаимодействия, не может запретить этим же переносчикам самим рождать новые кванты! Например, фотон-переносчик может исчезнуть, оставив вместо себя электрон и позитрон, которые затем в свою очередь исчезнут – аннигилируют, снова породив фотон. Обмен таким «накрученным» фотоном вносит другой вклад во взаимодействие двух электронов, чем просто обмен фотоном. А далее картина развивается вглубь подобно фракталу: каждый фотон, который участвует в обмене, может родить электрон-позитронную пару, а каждый электрон и каждый позитрон могут испускать фотоны, которые будут поглощены каким-то другим или тем же самым электроном или позитроном. Эти возможности ветвятся и размножаются, превращаясь в труднообозримое нагромождение. Каждый вариант вносит свой вклад в предвероятность.

Едва ли стоит задавать наивный вопрос: в каком смысле происходит какой-то из этих процессов? Скажем, участвуют ли в определенном взаимодействии два фотона или один фотон и одна электрон-позитронная пара, возникающая по дороге, не говоря уже обо всех остальных вариантах? К обсуждаемому описанию взаимодействия не стоит относиться слишком буквально: квантовая теория верна себе – для вычисления предвероятностей она предписывает складывать все возможности, предлагая таким образом схему для вычислений, а не набор наглядных картин {120} .

120

Несмотря на то что каждый вариант имеет обманчиво наглядное графическое представление – собственно, граф, т. е. диаграмму, составленную из линий разных видов, отвечающих различным частицам. Частицы как будто бы распространяются вдоль этих линий, а линии сходятся в некоторых точках, что выражает элементарные акты взаимодействия. Такие диаграммы как средство для описания взаимодействия изобрел Фейнман. Визуализуют они математические правила вычислений в квантовой теории поля.