Сто лет недосказанности: Квантовая механика для всех в 25 эссе

Семихатов Алексей

Чтобы волновая функция отражала такое положение дел, от нее, как кажется, тоже требуется не меняться при перестановке двух частиц. Но ситуация чуть более тонкая. Не меняться должно только то, что наблюдаемо: не сама волновая функция, а ее квадрат {108} . Для волновой функции тогда остаются две возможности: при перестановке или действительно не меняться совсем, или приобретать лишний знак минус (следы которого начисто пропадут при возведении в квадрат).

108

Это высказывание содержит некоторую вольность, потому что «квадрат волновой функции» мы не обсуждали. Здесь можно думать о квадратах тех чисел, которые сопровождают различные вклады в волновую функцию. И это квадраты их модулей, если вспомнить, что они комплексные. Ввиду того, что волновая

функция в действительности комплексная, может показаться, что следующая фраза в тексте требует поправки: ведь комплексная волновая функция могла бы откликаться на перестановку произвольным изменением своей фазы. Однако есть и дополнительное соображение: повторная перестановка должна вернуть все на место, откуда следует, что приобретенная фаза в данном случае – это непременно +1 или –1, о которых и говорится далее в тексте.

Мир на удивление охотно следует максиме «всё, что возможно, где-то реализуется». В природе и в самом деле встречаются неразличимые объекты обоих классов: те, для которых волновая функция совсем не меняется, и те, для которых она приобретает лишний знак минус при перестановке двух объектов. Те, для которых совсем не меняется, называются бозонами, а те, что грешат лишним минусом, – фермионами {109} .

Выразительные следствия имеются в каждом случае, но ситуация с фермионами ярче: для них отсюда следует принцип Паули, запрещающий одинаковые состояния в коллективе частиц. Мы им уже пользовались «взаймы», а сейчас можно увидеть, каким образом он получается из того самого минуса. Если имеются два одинаковых состояния, то при их перестановке волновая функция, разумеется, не меняется никак, но одновременно, по общему правилу для фермионов, она приобретает лишний минус. Единственное, что не меняется от лишнего знака минус, – число 0. Следовательно, волновая функция с двумя фермионами в одном и том же состоянии равна нулю – и вероятность встретить такую картину тоже равна нулю. Таким-то образом фермионы и оказываются абсолютно нетерпимы к себе подобным.

109

В честь Бозе, встреченного нами на в главе 6, и Ферми, мелькнувшего в главе 14.

Возвращаясь к тому, как описывать переменное число частиц: вновь спасибо волновой функции за то, что она позволяет комбинировать «что угодно» с помощью безобидного с виду знака плюс (который мы многократно использовали, говоря о состояниях типа «спин вверх плюс спин вниз»). Теперь предлагается без тени сомнения подобным же образом комбинировать состояния, описывающие один, два, три и т. д. неразличимых объекта – разумеется, заранее побеспокоившись, чтобы каждое из этих состояний не изменялось при перестановках частиц, если они бозоны, и приобретало минус, если фермионы. Математическое пространство, в котором помещаются все эти состояния, называется пространством Фока. Это, если угодно, конструкция с бесконечным количеством этажей: на первом живут одночастичные волновые функции, на втором – двухчастичные, и т. д. На каждом следующем этаже все больше разнообразия, поэтому вполне можно представлять себе, что с набором высоты этажи расширяются; и все это странное «здание» продолжается вверх без ограничения. Математика это позволяет.

А далее в этом математическом пространстве, содержащем все возможные многочастичные состояния, происходит «квантовое чудо» с радикальными последствиями для фундаментальной картины мира. В его структуре обнаруживается бесконечный набор квантовых колебательных систем. Такие системы встречались нам в главе 4 – с угрозой, что они появятся снова, причем на более фундаментальном уровне. Эту угрозу я сейчас и привожу в действие.

Обычные колебательные системы ассоциируются с тем или иным видом упругости – которая, собственно, и определяет частоту их колебаний. Но здесь откуда берется что-нибудь в этом роде? Квантовая механика прекрасна своей абстрактностью, полностью избавляя нас от мучительной обязанности изобретать «наглядные», но несуществующие подробности. Квантовая колебательная система существует постольку, поскольку выполнены все необходимые формальные свойства, ведь картины «что, как и куда движется» для квантовых колебаний все равно нет! А с формальными свойствами дело обстоит следующим образом.

Ключевое свойство квантовых колебаний, как мы говорили, – дискретные значения энергии, разделенные интервалами постоянной ширины: имеется бесконечно уходящая вверх «лестница» разрешенных значений энергии. За «сооружением» этой лестницы в глубине квантовой механики стоят пары операций, изменяющих волновую функцию: одна операция превращает волновую функцию, отвечающую каждой ступеньке, в следующую по порядку возрастания энергии, а другая – в предыдущую. Причина дискретности – вражда между этими «лестничными операциями», повышающей и понижающей. (Как мы говорили в главе 3, на самом фундаментальном уровне вражда происходит из взаимоотношения абстрактных операций;

они воздействуют на волновые функции, как мы видели в главе 9, и вражду можно «измерить», сравнивая результаты применения операций в разном порядке.) Повышающая и понижающая лестничные операции, должным образом враждующие друг с другом, и берут на себя почти всю работу по определению квантовой колебательной системы, никакие наглядные образы при этом не нужны. В дополнение требуется только конкретное расстояние между энергетическими ступеньками (которое для неквантовой колебательной системы связано с упругостью и определяет частоту колебаний).

Удивительным образом в системе с переменным числом неразличимых частиц обнаруживается все необходимое для существования квантовых колебательных систем! А когда система с переменным числом частиц рассматривается в качестве организованного набора квантовых колебательных систем, она принимает вид квантового поля.

В оставшейся части этой главы я расскажу, что такое квантовое поле и как до него добраться, следуя исторической логике – начиная именно с системы с переменным числом частиц. Без этого мотивировать всю конструкцию не очень просто, но стоит сразу оговориться, что логика современного взгляда на природу обратна исторической: именно квантовые поля рассматриваются как самые фундаментальные структуры материи. Они совершенно самостоятельны в своем существовании, а проявлять себя могут в том числе в виде элементарных частиц. Дорогу к квантовому полю проще пройти, имея дело с бозонами, как я и собираюсь поступить. Начинаем!

«Плодотворная дебютная идея» состоит в том, чтобы сформулировать математическую операцию, которая связывает «этажи», населенные одночастичными, двухчастичными, трехчастичными и т. д. состояниями: из любого состояния такая операция производит новое состояние, в котором на одну частицу больше. Это не физический процесс, а математическое средство; указанная операция добавляет какую-то волновую функцию одной частицы к уже имеющимся и «беспокоится» о правильном поведении результата при перестановках частиц. Добавляемая волновая функция может быть любой; фактически для каждой возможной волновой функции одной частицы имеется своя операция ее добавления. Про все эти операции говорят, что они рождают новую частицу, и называют их операциями рождения {110} .

110

Как один раз уже было отмечено, их называют операторами, в данном случае операторами рождения. Следуя высказанному ранее намерению, я стараюсь не перегружать текст терминами.

Все состояния, скажем, с тремя частицами можно математически получить, применяя операции рождения к состояниям с двумя частицами; а состояния с двумя – к тем, где всего одна частица. И здесь не надо останавливаться. Любое состояние с одной частицей тоже можно получить, действуя подходящей операцией рождения. Действуя на что? На состояние, где частиц нет. У «здания» с бесконечным числом этажей есть, оказывается, невидимый фундамент. Это вакуумное состояние, выражающее отсутствие всего, что может отсутствовать, но это и вполне определенный объект или даже явление. Его главное свойство – в том, что, достаточное число раз применив к нему всевозможные операции рождения, можно получить все состояния с любым числом частиц.

Еще есть операция, которая уничтожает частицу с любой выбранной волновой функцией. Она ведет «на один этаж вниз». Точнее, когда такую операцию уничтожения применяют к состоянию, скажем, из пяти частиц, хотя бы одна из которых описывается выбранной волновой функцией, получается состояние из четырех частиц. Если же ничего похожего на данную волновую функцию в состоянии не обнаружено, операция уничтожения «убивает» все состояние целиком: получается ноль. Таким же образом она, конечно, убивает и вакуум – состояние, где частиц нет. Это тоже пока лишь математическая операция. Но вот кульминация.

Поинтересуемся, «в каких отношениях» состоят операции рождения и уничтожения – не враждуют ли они, и если да, то как именно. Для получения ответа требуется провести вычисление; результат его от нас уже не зависит, поскольку обе операции полностью определены. Что же получается?

Итог изумляет: мы обнаруживаем клад, и даже не так глубоко закопанный. Операции рождения и уничтожения частицы с любой выбранной волновой функцией враждуют в точности так же, как повышающие и понижающие лестничные операции, обслуживающие квантовые колебания. Математика внезапно превращается в физику: каждая враждующая пара операций рождения и уничтожения определяет (если угодно, создает) квантовую колебательную систему – которая существует постольку, поскольку эти операции «правильно» враждуют (о расстоянии между ступеньками я скажу через абзац). Дальнейшая программа действий состоит в том, чтобы смотреть на все «многоэтажное» пространство Фока как на арену, где действуют эти операции, а затем и перенести на них основной акцент.