Сто лет недосказанности: Квантовая механика для всех в 25 эссе

Семихатов Алексей

Дирак решил обобщить эти свойства на случай пространства-времени. Хотя пространство-время – до некоторой степени математическая конструкция (мы-то сами живем в пространстве и ощущаем ход времени), в математике нет причин, мешающих построить объекты, столь же чуткие к поворотам в четырехмерном пространстве-времени. Для них потребовалось новое абстрактное пространство, которое по совпадению оказалось тоже четырехмерным. Это означало не две, а четыре компоненты волновой функции электрона, что с самого начала было несколько необычно, но иначе математика «не сходилась».

Ключевой момент здесь в том, что «повороты» в пространстве-времени включают в себя те самые пересчеты между картинами мира движущихся наблюдателей, которые перемешивают пространство и время, и поэтому хорошее поведение при таких поворотах обеспечивает согласованность со специальной теорией относительности. «Волшебная стрелка» в пространстве-времени, на повороты которой готовы были откликаться новые объекты, уже не изображала магнит, как в трехмерном пространстве, а стала чисто математической, но это никого не смущало – Дирака во всяком случае. Он смело согласился с тем, чего хотела математика: решил, что волновая функция

будет составлена из четырех компонент, и при перемешиваниях пространства и времени они будут изменяться так, как говорит им живущая в пространстве-времени «воображаемая стрелка». Для них и удалось сформулировать уравнение со всеми желаемыми свойствами – ставшее известным как уравнение Дирака {105} .

105

Такое описание логики событий грешит некоторым спрямлением, потому что перед умственным взором Дирака не было готовой теории спиноров для пространств разнообразной размерности, и руководствовался он, по его собственным воспоминаниям, только косвенными соображениями. Уравнение Клейна – Гордона не устраивало его из-за задействованных там «темпов темпов» и сопутствующих им отрицательных вероятностей, и он надеялся каким-то математически изящным образом увидеть «внутри» него другое, желаемое уравнение, содержащее только «просто темпы» изменения волновой функции. Решение этой задачи и натолкнуло Дирака на объекты, состоящие из четырех компонент. Он записал в общей сложности четыре уравнения, которым подчинены эти четыре компоненты, по-разному раскидав темпы изменения компонент вдоль различных направлений. Все четыре уравнения составляют единое целое (каждая компонента волновой функции входит в каждое, но в каждое несколько по-разному), и в совокупности они называются просто уравнением Дирака.

Уравнение Дирака оказывается согласованным со специальной теорией относительности, если при пересчете между картинами мира движущихся наблюдателей не только перемешивать пространство и время, но и переставлять и комбинировать между собой компоненты волновой функции так, как велит это делать математика четырехмерных поворотов и отвечающих им спиноров.

Дирак в некотором роде доверился красоте математики, но успех в приложении к физическому миру последовал колоссальный: из нового уравнения автоматически получилось «удвоение силы магнита» для спина электрона – удвоение, которое Паули вынужден был использовать без объяснений (см. главу 9). Но это было далеко не все! Рассмотрев следствия из своего уравнения для атома водорода, Дирак нашел уточнения для разрешенных значений энергии по сравнению с теми, которые следовали из уравнения Шрёдингера после того, как Паули внедрил туда спин. Хотя и небольшие по величине, они улучшали совпадение между теоретическим результатом и экспериментальными данными, и это без сомнения свидетельствовало в пользу новоиспеченного уравнения (как мы помним, первоначально главным аргументом в пользу уравнения Шрёдингера тоже было вычисление разрешенных значений энергии в атоме водорода).

Но дальнейшая интрига развивалась по известному закону некоторых популярных жанров, где герой не добивается полного успеха с первой попытки, несмотря на то что поначалу все у него идет на удивление гладко; если это настоящий герой, ему предстоит пройти через кризис, когда рушится буквально все. Четырех компонент волновой функции, необходимых для записи уравнения, согласованного с теорией относительности, было ровно в два раза больше, чем нужно для описания электрона. Две из них работали, как было сказано, превосходно. На две другие можно было не обращать большого внимания в задачах типа атома водорода и в ряде других задач до тех пор, пока энергия описываемых ими электронов была достаточно мала: эти «непонятные» компоненты оказывались тогда несущественными. Но так было не во всех случаях.

Дело в том, что среди следствий специальной теории относительности имеется еще и формула Эйнштейна E = mc²: энергия покоящегося тела с массой m равна этой массе, умноженной на квадрат скорости света (в наши дни эта последовательность символов стала мемом). Уравнение Дирака «знало» об этой формуле – раз оно оказалось согласованным с требованиями теории относительности, математика обеспечивала появление этих эм-цэ-квадрат в нужных местах; в частности, «малые» энергии электронов, при которых две лишние компоненты волновой функции несущественны, означают энергию их движения, малую по сравнению с энергией mc² (где масса m – это, конечно, масса электрона). При таких условиях Дирак и получил впечатляющие результаты для электрона в атоме. Однако полностью избавиться от двух «лишних» компонент было невозможно – само уравнение препятствовало этому.

Да и по принципиальным причинам систематически игнорировать их было нельзя, потому что если какая-то идея или уравнение претендует на описание мира, то решительно невозможно рассматривать только нравящиеся нам следствия из этой идеи или уравнения, забывая про все те, которые противоречат наблюдениям. Но «зачем» появились лишние компоненты? Противоречат ли они наблюдениям? И какой в них смысл?

Со смыслом все было совсем плохо. Две лишние компоненты описывали что-то вроде электрона – с тем же спином, что и у электрона, но с отрицательной массой, в точности противоположной массе электрона. Отрицательная масса – патологическое явление, которое не только не наблюдается в природе, но и вообще полностью противопоказано существованию мира. Решения уравнения, представленные двумя «хорошими» компонентами, имели положительную массу и обладали положительной энергией, несколько большей указанного

эм-цэ-квадрат за счет энергии движения. А у «плохих» решений энергия тоже включала энергию движения, но все равно оставалась отрицательной из-за того, сколь «сильно отрицательный» вклад вносила отрицательная масса по формуле Эйнштейна. Кризис разразился вот где: нет никаких причин, мешающих электрону с положительной энергией отдать избыток энергии в виде излученного света, а самому занять состояние с отрицательной энергией. Однако если бы сколько-нибудь заметная доля окружающих нас электронов так поступила, наш мир (разумеется, вместе с нами) исчез бы в довольно яркой вспышке.

Так куда же математика завела Дирака? Вполне могли закрасться сомнения, подходящим ли оказалось уравнение, изобретенное посредством «волевого» применения четырехкомпонентной волновой функции ради соответствия принципу (только «темпы изменения», но не «темпы изменения темпов изменения» волновой функции), который сам по себе мог оказаться достаточно произвольным.

Кризис усугублялся. В 1929 г. Клейн путем вычислений показал, что уравнение Дирака ведет к патологическому результату в том случае, когда прилетевший «издалека» электрон встречает энергетическую стенку, созданную электрическим полем. Со стенками мы уже встречались, хотя и в несколько другом контексте; общее правило состоит в том, что с определенной вероятностью налетающий электрон или отражается обратно, или проходит сквозь преграду. Из расчетов с использованием уравнения Дирака следовало, что стоит только энергетической стенке оказаться достаточно высокой (неудивительно, что в критерии достаточной высоты тут снова фигурирует энергия mc²), как вероятность отражения от стенки оказывается больше единицы. Если (что в данном случае разумно) представить себе, что на стенку налетает много электронов, получается, что отражается от нее больше, чем налетает! Откуда они берутся и что это вообще за бессмыслица?

Время шло, туман не рассеивался. В конце 1929 г. Бор написал Дираку письмо с выражением обеспокоенности, что для разрешения парадоксов потребуются концептуальные нововведения. В ответ Дирак предложил нечто, что выглядело порядочным сумасшествием.

Да, признал он, электрон, разумеется, может излучить «лишнюю» энергию и оказаться в состоянии с отрицательной энергией. Но только в том случае, если его туда пустят – если там есть незанятое состояние. Дирак, конечно, знал о еще одной идее, принадлежавшей Паули (не про то, как описывать спин электрона): два электрона не могут находиться в одном и том же состоянии. Это – фундаментальный закон природы, по-русски называемый принципом запрета (или принципом запрета Паули). Запрет действует «сильнее любой силы» – электроны не «не хотят», а «не могут» занимать одно и то же состояние (пассажиры пригородных поездов в час пик натыкаются на похожий запрет, но для электронов он действует с абсолютной строгостью). А в применении к состояниям с отрицательной энергией Дирак заявил, что если все они уже заняты, то никакой электрон из «правильного» состояния (с положительной энергией) попасть в них не сможет – он просто не найдет себе места, но не буквально в физическом пространстве, а в том «пространстве возможностей», где живет волновая функция.

Электронов, которые занимали бы все состояния с отрицательными энергиями, требовалось бесконечно много; о них стали говорить как о «море» электронов. Разумеется, последовал вопрос, почему мы не видим никакого изобилия странных электронов. В ответ пришлось объявить море как таковое ненаблюдаемым. Наблюдаемы только отличия от этого полного заселения – «дырки» в море.

Если действительно какой-то из «морских» электронов с отрицательной энергией получит откуда-нибудь к этой своей энергии прибавку колоссального размера 2mc², то он выберется из моря и окажется электроном с приличествующей ему положительной энергией. Но там, откуда он ушел, станет на один отрицательный заряд меньше – что на фоне моря будет восприниматься как появление положительного заряда. Аналогична картина и с массой/энергией: уход из моря электрона с отрицательной массой оставляет там дырку, которую можно воспринимать как частицу с положительной массой. В результате дело выглядит так, что полученная энергия 2mc² пошла на создание пары частиц: электрона с отрицательным зарядом и еще одной частицы с положительным зарядом, но с такой же массой, как у электрона! И парадокс Клейна получает объяснение: когда электрон налетает на энергетическую стенку высоты, превосходящей 2mc², очень сильное электрическое поле, требуемое для ее создания, порождает такие пары: «лишние» электроны выскакивают из моря, а необходимую для этого энергию берут у поля.

Если все это выглядело хотя бы отчасти правдоподобным, труднопреодолимая проблема состояла в том, что единственными известными в то время носителями элементарного положительного заряда были протоны. Другого варианта объяснить, как «дырки» могли бы проявляться, в природе просто не было, однако здесь не могло не бросаться в глаза различие в массах: масса протона больше массы электрона почти в две тысячи раз. Дирак приложил усилия, чтобы показать, каким образом взаимодействие с (бесконечным) количеством электронов из моря могло бы привести к такому различию между массой частицы и дырки. Он ограничился малыми по сравнению с эм-цэ-квадрат энергиями (т. е. фактически пренебрег требованиями теории относительности), признав, однако, что над развитием высказанных им идей надо еще поработать. Тогда к обсуждению подключился Вейль – математическая фигура мирового масштаба. Он показал, что нарушить условие равенства масс между частицами и дырками невозможно по глубоким математическим причинам. Таким образом, из предложения Дирака ничего не вышло. Сам Вейль сделал отсюда вывод, что от теории «дырок в море» следует отказаться!