"Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики. Том-1"
Шрифт:
е 3
е 2
е 1
Мал. 3.
Смуга у чотири рази більша від клітки, квадрат у чотири рази більший від смуги. Або навпаки: клітка у чотири рази менша смуги, смуга у чотири рази менша квадрата.
При системі мірок – відрізків
число 123 4буде зображено так:
Мал. 4.
Співвідношення між мірками е 1, е 2, е 3залишається
При системі мірок у вигляді кружечків (мал. 5) зображення числа 123 4буде таким (мал. 6):
Мал. 5.
Мал. 6.
У десятковій системі для запису чисел використовуються десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, тобто цифра, що відповідає найбільшому одноцифровому числу, (9) на одиницю менша основи системи.
Аналогічна закономірність виконується і в будь-якій іншій позиційній системі числення: в двійковій системі числення використовуються дві цифри: 0 та 1; в трійковій – 3 (0, 1, 2); в четвірковій – 4 (0, 1, 2, 3); в п’ятірковій – 5 (0, 1, 2, 3, 4, 5) і т.д.
У цілому основа системи вказує, скільки одиниць одного розряду складає одну одиницю наступного вищого розряду. Далі можна запропонувати учням знайти помилки у записі чисел, виправити їх. Наприклад: а) 247 7; б) 47 4; в) 49 8.
Міркування учнів: а) цифри 7 не може бути у сімковій системі числення, тому що 7 одиниць складають одну одиницю другого розряду, та у другому розряді було чотири одиниці, тобто стало 5 одиниць другого розряду, отже буде число 250 7.
б) цифри 4 немає в четвірковій системі числення, чотири одиниці другого розряду складають одну одиницю третього розряду, отже, буде число 102 4.
в) 9 одиниць запишемо у вигляді суми розрядних доданків у вісімковій системі числення 9 = 8+1, а 8 одиниць замінюємо одним десятком та отримуємо 9 = 10 +1 = 11 8, одну одиницю пишемо у розряд одиниць, а 1 десяток переносимо у другий розряд, отже у другому розряді стало 5 одиниць, тобто стало число 51 8.
Цікавими нам уявляються наступні завдання для учнів:
1. Назвіть “сусідів” числа 39 10; 50 10; 34 5; 44 5; 100 6; 56 7; 66 7; 45 6; 55 6; 100 5; 40 5.
Міркування учнів: 39 10; сусіди цього числа 38 10та 40 10, оскільки щоб назвати попереднє число, потрібно відняти одиницю, отримуємо 38 10, а щоб назвати наступне число, потрібно додати одиницю до 39 10, використавши основну властивість десяткової системи числення: 10 одиниць складають одну одиницю наступного розряду (до 39 додати одиницю), починаємо додавати одну одиницю до дев’яти одиниць, отримуємо 10 одиниць, тобто 1 десяток (одна одиниця наступного, другого розряду), та ще три одиниці другого розряду, всього отримуємо чотири одиниці другого розряду, тобто число 40.
50 10; сусіди цього числа 51 10та 49 10, оскільки щоб отримати наступне, додаємо одиницю, а щоб отримати попереднє, тобто відняти одиницю, потрібно “взяти” одну одиницю у другого розряду та роздробити її на 10 одиниць (десяткова система числення), у другому розряді залишається чотири одиниці, а у першому із 10 одиниць відняти одну одиницю, залишається 9 одиниць, тобто число 49 10.
Використовуючи
44 5(попереднє 43 5, наступне 100 5), тут двічі здійснюється перехід через розряд.
100 6(попереднє число знаходимо так: із 100 6відняти одиницю, беремо одну одиницю третього розряду, перетворюємо її в 6 одиниць (основа системи це показує) другого розряду, із них беремо одну одиницю (в другому розряді залишилось 5 одиниць), роздрібнюємо її на 6 одиниць першого розряду та віднімаємо одиницю, залишається у першому розряді теж 5 одиниць, отримуємо число 55 6. Отже, для 100 6попереднім є 55 6, а наступним 101 6.
56 7(попереднє 55 7, наступне 60 7);
66 7(попереднє 65 7, наступне 100 7);
45 6(попереднє 44 6, наступне 50 6);
55 6(попереднє 54 6, наступне 100 6);
100 5(попереднє 44 5, наступне 101 5);
40 5(попереднє 34 5, наступне 41 5).
2. Назвіть найбільше і найменше одноцифрове і двоцифрове число у різних системах числення: двійковій, четвірковій, шістковій, сімковій, вісімковій, дев’ятковій, десятковій. Що ти тут побачив?
Основа системи
2
4
6
7
8
9
10
Найменше одноцифрове
0 2
0 4
0 6
0 7
0 8
0 9
0 10
Найбільше одноцифрове
1 2
3 4
5 6
6 7
7 8
8 9
9 10
Найменше двоцифрове
10 2
10 4
10 6
10 7
10 8
10 9
10 10
Найбільше двоцифрове
11 2
33 4
55 6
66 7
77 8
88 9
99 10
Помічаємо, що всі найменші числа у будь-якій системі числення складаються із нулів (найменше одноцифрове) або одиниць з нулями (найменше двоцифрове, найменше трицифрове аналогічно 100). А найбільші одноцифрові складаються із однієї цифри, що відповідає числу, на одиницю менше основи системи, а найбільше двоцифрове – із двох однакових цифр, на одиницю менше основи системи (аналогічно найбільше трицифрове – із трьох однакових цифр, на одиницю менше основи системи).