Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
dy
dz
,
(3)
где интегрирование следует распространить на всё пространство.
631. После интегрирования этого выражения по частям с учётом того, что на бесконечно большом расстоянии r от данной точки, принадлежащей конечной заряженной системе, потенциал становится величиной бесконечно малой, имеющей порядок r– 1, а f, g, h становятся бесконечно малыми величинами порядка r– 2 выражение приводится
W
=-
1
2
f
d
dx
+
g
d
dy
+
h
d
dz
dx
dy
dz
,
(4)
где интегрирование следует распространить на всё пространство.
Если теперь вместо -d/dx, -d/dy и -d/dz мы запишем составляющие электродвижущей напряжённости P, Q, R, то найдём
W
=
1
2
(
Pf
+
Qg
+
Rh
)
dx
dy
dz
.
(5)
Следовательно, электростатическая энергия всего поля будет такой же самой, если мы предположим, что она имеется в каждой части поля, где есть электродвижущая напряжённость и электрическое смещение, а не сосредоточена в тех местах, где находится свободное электричество.
Энергия в единице объёма равна половине произведения электродвижущей напряжённости и электрического смещения, умноженной на косинус угла, который образуют эти векторы.
На языке кватернионов это есть
–
1
2
S.ED
.
Магнитная энергия
632. Энергию, обусловленную намагниченностью, мы можем трактовать аналогично тому, как это сделано в случае электризации, п. 85. Если составляющие намагниченности равны A, B, C, а составляющие магнитной силы , , , то потенциальная энергия системы магнитов равна (п. 389)
–
1
2
(
A
+
B
+
C
)
dx
dy
dz
,
(6)
причём интегрирование распространяется на пространство, занятое намагниченной материей. Однако эта часть энергии будет включена в кинетическую энергию в той форме, в которой мы её сейчас получим.
633. Мы можем преобразовать это выражение в отсутствии электрических токов следующим образом.
Мы знаем, что
da
dx
+
db
dy
+
dc
dz
=
0.
(7)
Следовательно (п. 97), если
=-
d
dx
,
=-
d
dy
,
=-
d
dz
,
(8)
что
(
a
+
b
+
c
)
dx
dy
dz
=
0,
(9)
где интегрирование распространяется на всё пространство, или
{(+4A)
+
(+4B)
+
+
(+4C)}
dx
dy
dz
=
0,
(10)
Следовательно, энергия, обусловленная магнитной системой, равна
–
1
2
(
A
+
B
+
C
)
dx
dy
dz
=
=
1
8
(^2+^2+^2)
dx
dy
dz
,
=
1
8
H^2
dx
dy
dz
.
(11)
Электрокинетическая энергия
634. В п. 578 мы уже представили кинетическую энергию системы токов в виде
T
=
1
2
(pi)
,
(12)
где p - электромагнитный импульс контура, а i - сила циркулирующего по нему тока; суммирование распространяется на все контуры.
Но мы уже доказали (п. 590), что p можно представить как линейный интеграл вида
p
=
F
dx
ds
+
G
dy
ds
+
H
dz
ds
ds
,
(13)
где F, G, H являются составляющими электромагнитного импульса A в точке (x,y,z), а интегрирование распространяется на замкнутый контур s. Таким образом, мы находим
T
=
1
2
i
F
dx
ds
+
G
dy
ds
+
H
dz
ds
ds
.
(14)
Если u, v, w являются составляющими плотности тока в произвольной точке проводящего контура, а S - поперечное сечение контура, то можно записать
i
dx
ds
=
uS
,
i
dy
ds
=
vS