Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Максвелл Джеймс Клерк

P

_zz

=

1

4

c

–

1

2

(^2+^2+^2)

,

P

_yz

=

1

4

b

,

P

_zy

=

1

4

c

,

P

_zx

=

1

4

c

,

P

_xz

=

1

4

a

,

P

_xy

=

1

4

a

,

P

_yx

=

1

4

b

,

(15)

то

сила, обусловленная системой напряжений с такими составляющими, по своим действиям на каждый элемент тела эквивалентна в статическом смысле силам, обусловленным намагниченностью и электрическими токами.

642. Легко установить природу напряжения с такими составляющими. Возьмём в качестве оси x биссектрису угла между направлениями магнитной силы и магнитной индукции, а ось y проведём в плоскости этих направлений, направив её в сторону магнитной силы.

Если мы положим, что численное значение магнитной силы равно H, численное значение магнитной индукции равно B и угол между их направлениями равен: 2, то

=

H

cos

,

=

– H

sin

,

=

0,

a

=

B

cos

,

b

=

– B

sin

,

c

=

0.

(16)

P

_xx

=

1

4

+BH

cos^2

–

1

2

H^2

,

P

_yy

=

1

4

– BH

sin^2

–

1

2

H^2

,

P

_zz

=

1

4

–

1

2

H^2

,

P

_yz

=

P

_zx

=

P

_zy

=

P

_xz

=

0,

P

_xy

=

1

4

BH

cos

sin

,

P

_yx

=

–

1

4

BH

cos

sin

.

(17)

Следовательно, напряжённое состояние можно рассматривать как составленное из:

(1). Давления, одинакового по всем направлениям =(1/8)H^2.

(2). Натяжения вдоль линии, делящей пополам угол между

направлениями магнитной силы и магнитной индукции =(1/4)BHcos^2.

(3). Давления вдоль линии, делящей пополам внешний угол между этими направлениями =(1/4)BHsin^2.

(4). Пары сил, стремящейся повернуть каждый элемент вещества в плоскости этих двух направлений от направления магнитной индукции в направлении магнитной силы =(1/4)BHsin 2.

Когда магнитная индукция направлена так же, как магнитная сила, что всегда имеет место в жидкостях и ненамагниченных твёрдых телах, то =0; если направить ось x вдоль магнитной силы, то

P

_xx

=

1

4

BH

–

1

2

H^2

,

P

_yy

=

P

_zz

=

–

1

8

H^2

,

(18)

и тангенциальное напряжение исчезает.

Напряжение, таким образом, состоит в этом случае из комбинации гидростатического давления (1/8)H^2 и продольного натяжения (1/4)BH вдоль силовых линий.

643. При отсутствии намагниченности B=H, и напряжение ещё больше упрощается: оно состоит из натяжения вдоль силовых линий, равного (1/8)H^2 и давления по всем направлениям, перпендикулярным силовым линиям, также численно равным (1/8)H^2. Составляющие напряжения в этом важном случае равны

P

_xx

=

1

8

(^2-^2-^2),

P

_yy

=

1

8

(^2-^2-^2),

P

_zz

=

1

8

(^2-^2-^2),

P

_yz

=

P

_zy

=

1

4

,

P

_zx

=

P

_xz

=

1

4

,

P

_xy

=

P

_yx

=

1

4

.

(19)

Составляющая силы вдоль x, возникающая вследствие действия этих напряжений на элемент среды единичного объёма, равна

X

=

d

dx

P

_xx

+

d

dy

P

_yx

+

d

dz

P

_zx

,

=

1

4

d

dx

–

d

dx

–

d

dx

+

1

4

d

dy

+

d

dy

+

+