Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
dx
,
G
=
G'
–
d
dy
,
H
=
H'
–
d
dz
,
(7)
Величина исчезает из уравнений (А) и не имеет отношения ни к какому физическому явлению. Если предположить, что она всюду равна нулю, то величина J также будет везде равна нулю. Тогда уравнения (5) (с опущенными штрихами) дадут правильные значения составляющих A.
617. Поэтому мы можем принять в качестве определения A, что это есть вектор-потенциал
Пусть из данной точки проведён вектор, по величине и направлению представляющий заданный элемент тока, делённый на численное значение расстояния до этого элемента от данной точки. Пусть это проделано для каждого элемента электрического тока. Результирующая всех полученных таким образом векторов является потенциалом всего тока. Поскольку ток - величина векторная, его потенциал также является вектором, см. п. 422.
Когда задано распределение электрических токов, то существует одно и только одно распределение величины A, такое, при котором A всюду конечно, непрерывно, удовлетворяет уравнениям
^2A
=
4C
,
S.A
=
0
и исчезает на бесконечном расстоянии от электрической системы. Это та самая величина, которая даётся уравнениями (5), допускающими запись в кватернионной форме:
A
=
C
r
dx
dy
dz
.
Кватернионные выражения для электромагнитных уравнений
618. Мы старались избегать в этом трактате каких-либо операций, требующих от читателя знания кватернионного исчисления. В то же время там, где это было необходимо, мы, не колеблясь, вводили понятие вектора, и когда у нас возникала возможность обозначить вектор каким-либо одним символом, мы прибегали к готическим буквам. Число различных векторов получилось столь большим, что символы, излюбленные Гамильтоном, оказались бы сразу же исчерпанными. Поэтому любая готическая буква, где бы она ни использовалась, означает гамильтоновский вектор и указывает не только на его величину, но и на его направление.
Составляющие же вектора обозначаются латинскими или греческими буквами.
Основными векторами, которые мы должны рассмотреть, являются:
Символ
вектора
Составляющие
Радиус-вектор точки
x
y
z
Электромагнитный
импульс в точке
A
F
G
H
Магнитная индукция
B
a
b
c
(Полный)
электрический ток
C
u
v
w
Электрическое смещение
D
f
g
h
Электродвижущая
напряжённость
E
P
Q
R
Механическая сила
F
X
Y
Z
Скорость
G
или
x
y
z
Магнитная сила
H
Интенсивность
намагниченности
J
A
B
C
Ток проводимости
K
p
q
r
Мы имеем также следующие скалярные функции:
Электрический потенциал
Магнитный потенциал
(там, где он существует)
Электрическая плотность
e
Плотность магнитной «материи»
m
Кроме этих, мы имеем ещё следующие величины, указывающие на физические свойства среды в каждой точке:
C
–
проводимость для электрических токов,
K
–
диэлектрическая индуктивная способность,
–
магнитная индуктивная способность.
Эти величины в изотропных средах являются просто скалярными функциями , но в общем случае они представляют собой линейные векторные операторы, действующие на векторные функции, к которым они применяются. Операторы K и являются, несомненно, всегда самосопряжёнными, вероятно, и C тоже.
619. Уравнения (А) для магнитной индукции, первое из которых
a
=
dH
dy
–
dG
dz
,
можно теперь записать в виде
B
=
V.A
.
где есть оператор
i
d
dx
+
j
d
dy
+
k
d
dz
,
а V указывают на то, что следует брать только векторную часть результата этой операции.
Так как A подчиняется условию S.A=0, то A есть чистый вектор, и символ V не нужен.
Уравнения (В) для электродвижущей напряжённости, первое из которых
P
=
cy
–
bz
–
dF
dt
–
d
dx
,
принимают вид
E
=
V.GB
–
A
–
.
Уравнения (С) для механической силы, первое из которых
X
=
cv
–
bw
+
eP
–
m
d
dx
,
принимают вид
F
=
VCB
+
eE
–
m
.
Уравнения (D) для намагничивания, первое из которых есть a=+4A, принимают вид
B
=
H
+
4J
.
Уравнения (Е) для электрических токов, первое из которых
4u
=