Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
Магнитная обзорная карта
466. Предположим, что в какой-то стране умеренной протяжённости, наибольший размер которой составляет несколько сот миль, имеется значительное количество удачно размещённых станций, где проводятся наблюдения за горизонтальной силой и склонением.
В пределах этого района можно считать, что потенциал V с достаточной точностью представляется следующей формулой:
V
=
const
– a
A
1
l
+
A
2
+
1/2 B
1
l^2
+
B
2
l
+
1/2 B
3
l^2
+…
,
(6)
откуда
X
=
A
1
+
B
1
l
+
B
2
,
(7)
Y cos l
=
A
2
+
B
2
l
+
B
3
.
(8)
Пусть имеется n станций с широтами l1, l2, … и долготами 1, 2, …, и пусть для каждой из этих станций найдены значения X и Y. Введём l0 и 0, которые могут быть названы широтой и долготой центральной станции:
l
0
=
1
n
(l)
,
0
=
1
n
.
(9)
Определим значения X и Y на этой воображаемой центральной станции так:
X
0
=
1
n
(X)
,
Y
0
cos l
0
=
1
n
(Y cos l)
.
(10)
Тогда
X
=
X
0
+
B
1
(l-l
0
)
+
B
2
(-
0
)
,
(11)
Y
cos l
=
X
0
cos l
0
+
B
2
(l-l
0
)
+
B
3
(-
0
)
.
(12)
Мы имеем n
Пусть вероятная ошибка наблюдений H равна h, а ошибка наблюдений равна , тогда в силу
dX
=
cos ·dH
–
H sin ·d
будем иметь
^2
=
h^2cos^2
+
^2H^2sin^2
.
Аналогично
^2
=
h^2sin^2
+
^2H^2cos^2
.
Если отклонения X и Y от значений, даваемых уравнениями вида (11) и (12), значительно превышают вероятные ошибки наблюдений, можно сделать вывод о том, что они обусловлены какими-то местными притяжениями; при этом у нас нет никаких причин полагать отношение и равным какой-либо величине, отличной от единицы.
Согласно методу наименьших квадратов, умножим уравнения вида (11) на , а уравнения вида (12) - на , тем самым сделав их вероятные ошибки одинаковыми. Затем умножим каждое из уравнений на коэффициент перед одной из неизвестных величин B1, B2, или B3; сложив результаты, получим три уравнения для отыскания величин B1, B2, B3:
P
1
=
B
1
b
1
+
B
2
b
2
,
^2P
2
+
^2
Q
1
=
B
1
^2b
2
+
B
2
(^2b
1
+^2b
3
)
+
B
3
^2b
2
,
Q
2
=
B
2
b
2
+
B
3
b
3
;
Здесь для краткости обозначено
b
1
=
(l^2)
–
nl
0
^2
,
b
2
=
(l)
–
nl
0
0
,
b
3
=
(^2)
–